Que sont les coordonnées cylindriques ?
Les coordonnées cylindriques repèrent un point dans l'espace 3D à l'aide d'un rayon r, d'un angle θ et d'une hauteur z. Elles prolongent les coordonnées polaires du plan en conservant tout simplement l'axe z du repère cartésien. Ce système est tout indiqué pour les problèmes présentant une symétrie de révolution autour d'un axe : tuyaux, cylindres, champs électromagnétiques ou encore écoulements de fluides.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez d'abord le sens de la conversion. Pour Cartésien → Cylindrique, saisissez les valeurs x, y et z : l'outil renvoie r, θ (en degrés) et z. Pour Cylindrique → Cartésien, entrez r, θ (en degrés) et z afin d'obtenir x, y et z. L'angle est calculé avec l'arc tangente à deux arguments (atan2), ce qui garantit que le bon quadrant est toujours sélectionné.
La formule expliquée
Le rayon correspond à la distance en ligne droite jusqu'à l'axe z : $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ L'angle se calcule par $$\theta = \operatorname{atan2}\!\left(y,\ x\right)$$ qui renvoie une valeur comprise entre −180° et 180° et traite correctement les quatre quadrants ainsi que les axes. La hauteur \(z\) reste identique dans les deux systèmes. La conversion inverse s'écrit $$x = r\cos\theta \qquad y = r\sin\theta$$
Exemple détaillé
Convertissons le point cartésien (3, 4, 5). Le rayon vaut $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$ L'angle est \(\operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53{,}13°\). La hauteur reste égale à 5. Les coordonnées cylindriques sont donc (5, 53,13°, 5).
Questions fréquentes
Pourquoi utiliser atan2 plutôt que arctan(y/x) ? L'arc tangente simple perd l'information de quadrant et n'est pas définie lorsque \(x = 0\). La fonction atan2, elle, gère correctement tous les cas de figure.
Les angles sont-ils exprimés en degrés ou en radians ? Ce calculateur affiche et accepte θ en degrés, par commodité ; en interne, il le convertit en radians pour les fonctions trigonométriques.
Que se passe-t-il si x et y sont tous les deux nuls ? Le point se trouve alors sur l'axe z : \(r = 0\) et, par convention, \(\theta = 0°\).
