À quoi sert ce convertisseur
Cet outil transforme un point exprimé en coordonnées cartésiennes 3D (x, y, z) en coordonnées sphériques (r, thêta, phi). Il s'agit d'un outil purement mathématique qui fonctionne pour n'importe quelles valeurs réelles et vous laisse choisir d'afficher les deux angles en degrés ou en radians.
La convention utilisée ici
Respectez scrupuleusement la convention de cette page, car elle peut différer d'un manuel à l'autre. Ici, r désigne la distance radiale par rapport à l'origine, thêta est l'angle azimutal mesuré dans le plan x-y à partir de l'axe des x positifs, et phi est l'angle polaire (d'inclinaison) mesuré depuis l'axe des z positifs vers le bas.
Les formules
$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ Les angles s'appuient sur l'arctangente à deux arguments pour plus de fiabilité : $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\, x), \quad \varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\sqrt{x^2+y^2},\, z\right)$$ Recourir à \(\operatorname{atan2}\) plutôt qu'au simple \(\operatorname{atan}(y/x)\) évite la division par zéro et conserve le bon quadrant. Tous les résultats trigonométriques sont en radians ; lorsque l'option « Degrés » est sélectionnée, chaque angle est multiplié par \(\frac{180}{\pi}\).
Mode d'emploi
Saisissez les composantes x, y et z de votre point, choisissez l'unité d'angle en sortie, puis lisez r, thêta et phi. La valeur de r ne dépend pas de l'unité d'angle retenue.
Exemple détaillé
Pour \(x = 3\), \(y = 4\), \(z = 5\) en degrés : $$r = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 7{,}071068$$ $$\theta = \operatorname{atan2}(4,\, 3) = 0{,}927295 \text{ rad} = 53{,}130102°$$ Avec \(\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5\), $$\varphi = \operatorname{atan2}(5,\, 5) = \operatorname{atan}(1) = 0{,}785398 \text{ rad} = 45°$$
FAQ
Que se passe-t-il quand x = 0 ? \(\operatorname{atan2}\) gère ce cas sans problème : \(x = 0\) avec \(y > 0\) donne \(\theta = 90°\), et \(y < 0\) donne \(\theta = -90°\).
Et si z = 0 ? Le point se trouve dans le plan x-y, donc \(\varphi = 90°\) (\(\pi/2\)). Un \(z < 0\) donne logiquement un phi supérieur à 90°.
Et à l'origine ? Si \(x = y = z = 0\), alors \(r = 0\) et les angles sont mathématiquement indéfinis ; par convention atan2, cet outil affiche 0 pour les deux.
