Công Cụ Đổi Tọa Độ Descartes Sang Tọa Độ Cầu

Nhập phép tính

x

y

z

Đơn vị góc Degrees Radians

Kết quả

Khoảng cách hướng tâm r

7,071068

spherical coordinates (r, θ, φ)

θ (azimuth)	53,130102 deg
φ (inclination)	45 deg

Công cụ này làm gì?

Công cụ giúp bạn chuyển một điểm cho dưới dạng tọa độ Descartes 3D (x, y, z) sang tọa độ cầu (r, theta, phi). Đây là công cụ toán học thuần túy, hoạt động với mọi giá trị thực và cho phép bạn chọn hiển thị hai góc theo đơn vị độ hay radian.

Quy ước được dùng ở đây

Hãy bám sát đúng quy ước của trang này, vì nó có thể khác với một số giáo trình khác. Ở đây r là khoảng cách hướng tâm tính từ gốc tọa độ, theta là góc phương vị (azimuth) đo trong mặt phẳng x-y kể từ chiều dương của trục x, còn phi là góc cực (góc nghiêng) đo từ chiều dương của trục z xuống.

Tọa độ cầu: r là khoảng cách đến gốc tọa độ, phi đo từ trục z, và theta là góc phương vị trong mặt phẳng xy.

Các công thức

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ Các góc dùng hàm arctang hai tham số để đảm bảo độ tin cậy: $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\, x), \quad \varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\sqrt{x^2+y^2},\, z\right)$$ Việc dùng \(\operatorname{atan2}\) thay cho công thức ngây thơ \(\arctan(y/x)\) giúp tránh chia cho 0 và giữ đúng góc phần tư. Mọi kết quả lượng giác đều ở đơn vị radian; khi bạn chọn "Độ", mỗi góc sẽ được nhân với \(\frac{180}{\pi}\).

Quảng cáo

Các công thức xuất phát từ tam giác vuông: phi liên hệ z với r, còn theta được xác định bởi x và y.

Cách sử dụng

Nhập các thành phần x, y, z của điểm, chọn đơn vị góc cho kết quả rồi đọc các giá trị r, theta và phi. Lưu ý r không phụ thuộc vào đơn vị góc bạn chọn.

Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Với \(x = 3\), \(y = 4\), \(z = 5\) và chọn đơn vị độ: $$r = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 7.071068$$ $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) = 0.927295 \text{ rad} = 53.130102^\circ$$ Với \(\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5\), ta có $$\varphi = \operatorname{atan2}(5, 5) = \arctan(1) = 0.785398 \text{ rad} = 45^\circ$$

Câu hỏi thường gặp

Điều gì xảy ra khi x = 0? Hàm \(\operatorname{atan2}\) xử lý gọn gàng: \(x = 0\) với \(y > 0\) cho \(\theta = 90^\circ\), còn \(y < 0\) cho \(\theta = -90^\circ\).

Nếu z = 0 thì sao? Điểm nằm trong mặt phẳng x-y, nên \(\varphi = 90^\circ\) (\(\pi/2\)). Khi \(z < 0\), kết quả \(\varphi\) sẽ lớn hơn \(90^\circ\) một cách chính xác.

Còn trường hợp gốc tọa độ thì sao? Nếu \(x = y = z = 0\) thì \(r = 0\) và các góc về mặt toán học là không xác định; theo quy ước của \(\operatorname{atan2}\), công cụ này sẽ trả về 0 cho cả hai góc.