Что делает этот калькулятор
Инструмент переводит точку, заданную в трёхмерных декартовых координатах (x, y, z), в сферические координаты (r, тета, фи). Это чисто математический калькулятор: он работает с любыми вещественными значениями, а углы можно вывести как в градусах, так и в радианах — на ваш выбор.
Какое соглашение используется
Важно строго придерживаться соглашения, принятого на этой странице, — в разных учебниках обозначения могут отличаться. Здесь r — это радиальное расстояние от начала координат, тета — азимутальный угол, который отсчитывается в плоскости x-y от положительной полуоси x, а фи — полярный угол (угол наклона), отсчитываемый от положительной полуоси z вниз.
Формулы
$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$ Для углов используется двухаргументный арктангенс atan2 — он надёжнее: $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\, x), \quad \varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\sqrt{x^2+y^2},\, z\right)$$ Применение atan2 вместо обычного \(\operatorname{atan}(y/x)\) исключает деление на ноль и гарантирует правильную четверть. Все тригонометрические функции возвращают результат в радианах; при выборе режима «Градусы» каждый угол умножается на \(180/\pi\).
Как пользоваться
Введите компоненты x, y и z вашей точки, выберите единицу измерения угла и считайте значения r, тета и фи. Величина r не зависит от выбранной единицы измерения угла.
Разбор примера
Возьмём \(x = 3\), \(y = 4\), \(z = 5\) (углы в градусах): $$r = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 7.071068$$ $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) = 0.927295 \text{ рад} = 53.130102°$$ Поскольку \(\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5\), получаем $$\varphi = \operatorname{atan2}(5, 5) = \operatorname{atan}(1) = 0.785398 \text{ рад} = 45°$$
Частые вопросы
Что будет, если x = 0? Функция atan2 обрабатывает это корректно: при \(x = 0\) и \(y > 0\) получаем тета = 90°, а при \(y < 0\) — тета = -90°.
А если z = 0? Тогда точка лежит в плоскости x-y, поэтому фи = 90° (\(\pi/2\)). При \(z < 0\) калькулятор правильно выдаёт фи больше 90°.
Как обстоят дела с началом координат? Если \(x = y = z = 0\), то \(r = 0\), а углы математически не определены; по соглашению atan2 инструмент в этом случае выводит 0 для обоих углов.
