结果

径向距离 r

7.071068

spherical coordinates (r, θ, φ)

θ (azimuth)	53.130102 deg
φ (inclination)	45 deg

这个转换器能做什么

本工具可将一个用三维直角坐标 (x, y, z) 表示的点转换为球坐标 (r, θ, φ)。它是一款纯数学工具，适用于任意实数输入，并允许你自由选择两个角度以「度」还是「弧度」输出。

本页采用的约定

请严格按照本页面的约定来理解结果，因为不同教材的定义可能有所不同。在这里，r 表示点到原点的径向距离；θ 是方位角，在 x-y 平面内、从正 x 轴起测量；φ 是极角（倾角），从正 z 轴向下测量。

两个角度均采用双参数反正切函数（atan2）以保证稳健性：

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$$$\theta = \operatorname{atan2}(y,\, x), \quad \varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\sqrt{x^2+y^2},\, z\right)$$

使用 atan2 而非简单的 $\operatorname{atan}(y/x)$，既能避免除以零的问题，又能正确判定所在象限。所有三角运算的结果均以弧度为单位；当选择「度」时，每个角度会再乘以 $180/\pi$。

输入该点的 x、y、z 三个分量，选择角度输出单位，即可读取 r、θ 和 φ 的结果。其中 r 与所选的角度单位无关。

以 $x = 3$，$y = 4$，$z = 5$、角度选用「度」为例：

$$r = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 7.071068$$$$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) = 0.927295 \text{ 弧度} = 53.130102 \text{ 度}$$

由于 $\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{25} = 5$，所以

$$\varphi = \operatorname{atan2}(5, 5) = \operatorname{atan}(1) = 0.785398 \text{ 弧度} = 45 \text{ 度}$$

当 x = 0 时会怎样？ atan2 能妥善处理这种情况：$x = 0$ 且 $y > 0$ 时，$\theta = 90$ 度；$y < 0$ 时，$\theta = -90$ 度。

如果 z = 0 呢？ 此时点落在 x-y 平面内，因此 $\varphi = 90$ 度（即 $\pi/2$）。当 $z < 0$ 时，φ 会正确地大于 90 度。

原点的情况如何？ 若 $x = y = z = 0$，则 $r = 0$，此时两个角度在数学上是未定义的；按照 atan2 的约定，本工具会将它们都返回为 0。