这个计算器能做什么
只要给定圆直径的两个端点，本工具就能求出圆的完整标准方程 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)。同时还会给出圆心坐标 \((h, k)\)、半径 \(r\)、整条直径的长度，以及 \(r^2\)（也就是方程右边的常数项）。这是一款纯几何工具，适用于坐标平面上的任意两点。
如何使用
先输入第一个直径端点的坐标 \((x_1, y_1)\)，再输入第二个端点的坐标 \((x_2, y_2)\)。负数和小数都可以填。点击"计算"即可看到圆的方程以及所有相关数据。注意两个点必须不同——如果两点完全重合，得到的就是半径为 0 的退化圆。
公式详解
直径必然经过圆心，所以圆心正好是两个端点的中点：\(h = (x_1 + x_2) / 2\)，\(k = (y_1 + y_2) / 2\)。直径的长度就是两端点之间的距离，用距离公式 \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) 即可求得。半径则是直径的一半。把圆心坐标和 \(r^2\) 代入 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)，就得到了圆的方程。
$$\begin{gathered} (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{\text{x}_1 + \text{x}_2}{2} \\ k &= \dfrac{\text{y}_1 + \text{y}_2}{2} \\ r &= \dfrac{\sqrt{\left(\text{x}_2 - \text{x}_1\right)^2 + \left(\text{y}_2 - \text{y}_1\right)^2}}{2} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
例题演示
设两端点为 \((-2, 3)\) 和 \((4, 11)\)。圆心：\(((-2+4)/2, (3+11)/2) = (1, 7)\)。直径 \(= \sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)，所以 \(r = 5\)，\(r^2 = 25\)。最终方程为 $$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25.$$
常见问题
如果两个端点是同一个点会怎样？ 此时半径为 0，所谓的"圆"其实就是一个点，方程变成 \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\)。
两点输入的先后顺序有影响吗？ 没有影响。中点和距离都具有对称性，因此交换两个端点得到的还是同一个圆。
可以使用负数或小数坐标吗？ 可以——任意实数都行，包括负数、分数和小数。
