व्यास के सिरों से वृत्त का समीकरण

गणना दर्ज करें

सिरा 1 — x₁

सिरा 1 — y₁

सिरा 2 — x₂

सिरा 2 — y₂

परिणाम

वृत्त का समीकरण

(x − 1)² + (y − 7)² = 25

मानक रूप (x − h)² + (y − k)² = r²

केंद्र (h, k)	(1, 7)
त्रिज्या (r)	5
व्यास	10
r²	25

यह कैलकुलेटर क्या करता है

किसी वृत्त के व्यास के दोनों सिरों को देते ही यह टूल वृत्त का पूरा मानक-रूप समीकरण \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) निकाल देता है। साथ ही यह केंद्र (h, k), त्रिज्या r, व्यास की पूरी लंबाई और \(r^2\) (समीकरण का दायाँ पक्ष) भी बताता है। यह शुद्ध ज्यामिति का टूल है जो निर्देशांक तल में किसी भी दो बिंदुओं के लिए काम करता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले सिरे के निर्देशांक (x₁, y₁) और दूसरे सिरे के निर्देशांक (x₂, y₂) के रूप में दर्ज करें। ऋणात्मक और दशमलव मान भी मान्य हैं। समीकरण और बाकी सभी मान देखने के लिए "गणना करें" दबाएँ। दोनों बिंदु अलग-अलग होने चाहिए — एक ही बिंदु देने पर त्रिज्या 0 वाला अपभ्रष्ट (degenerate) वृत्त बनेगा।

सूत्र की व्याख्या

व्यास हमेशा केंद्र से होकर गुजरता है, इसलिए केंद्र ठीक दोनों सिरों का मध्यबिंदु होता है: \(h = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) और \(k = \dfrac{y_1 + y_2}{2}\)। व्यास की लंबाई दोनों सिरों के बीच की दूरी होती है, जिसे दूरी सूत्र \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) से निकाला जाता है। त्रिज्या इसकी आधी होती है। केंद्र और \(r^2\) को निम्नलिखित में रखने पर वृत्त का समीकरण मिल जाता है:

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ k &= \dfrac{y_1 + y_2}{2} \\ r &= \dfrac{\sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}}{2} \end{aligned} \right.$$

केंद्र व्यास के दोनों सिरों का मध्यबिंदु है, और त्रिज्या उनके बीच की दूरी का आधा है।

हल किया हुआ उदाहरण

सिरे (−2, 3) और (4, 11)। केंद्र: \(\left(\dfrac{-2+4}{2}, \dfrac{3+11}{2}\right) = (1, 7)\)। व्यास:

$$\sqrt{(4-(-2))^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

इसलिए \(r = 5\) और \(r^2 = 25\)। समीकरण है:

$$(x - 1)^2 + (y - 7)^2 = 25$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर दोनों सिरे एक ही बिंदु हों तो? तब त्रिज्या 0 होगी और "वृत्त" बस एक बिंदु बन जाएगा; समीकरण \((x - h)^2 + (y - k)^2 = 0\) हो जाएगा।

क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। मध्यबिंदु और दूरी दोनों सममित होते हैं, इसलिए सिरों को आपस में बदलने पर भी वही वृत्त मिलता है।

क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव निर्देशांक उपयोग कर सकता हूँ? हाँ — कोई भी वास्तविक संख्या चलेगी, चाहे वह ऋणात्मक हो या भिन्न/दशमलव।