दीर्घवृत्त मानक रूप कैलकुलेटर क्या है?
यह कैलकुलेटर किसी दीर्घवृत्त (ellipse) के केंद्र निर्देशांक और उसके दो अर्ध-अक्षों से मानक रूप समीकरण तैयार करता है। मानक रूप से दीर्घवृत्त का केंद्र, दिशा और आकार एक नज़र में पढ़ा जा सकता है, और यही नाभियों (foci), क्षेत्रफल, परिमाप तथा उत्केंद्रता निकालने का आधार बनता है। यह उपकरण किसी भी अक्ष-संरेखित दीर्घवृत्त के लिए काम करता है और पूरी तरह सार्वभौमिक है (शुद्ध गणित, किसी देश-विशेष से जुड़ा नहीं)।
इसका उपयोग कैसे करें
केंद्र के निर्देशांक h (x) और k (y) दर्ज करें, फिर दोनों अर्ध-अक्ष भरें: a जो x-दिशा में मापा जाता है और b जो y-दिशा में मापा जाता है। कैलकुलेटर समीकरण बना देता है और अर्ध-दीर्घ अक्ष A, अर्ध-लघु अक्ष B, नाभि दूरी \(c\), उत्केंद्रता \(e\), क्षेत्रफल और एक अनुमानित परिमाप बताता है।
सूत्र की व्याख्या
मानक रूप इस प्रकार है:
$$\frac{\left(x - \text{h}\right)^2}{\text{a}^{\,2}} + \frac{\left(y - \text{k}\right)^2}{\text{b}^{\,2}} = 1$$a और b में से जो बड़ा होता है वह अर्ध-दीर्घ अक्ष A होता है; छोटा वाला अर्ध-लघु अक्ष B होता है। केंद्र से प्रत्येक नाभि तक की दूरी \(c = \sqrt{A^2 - B^2}\) होती है, उत्केंद्रता \(e = c / A\) होती है (वृत्त के लिए 0 और बहुत चपटे दीर्घवृत्त के लिए 1 के करीब), क्षेत्रफल \(\pi \cdot a \cdot b\) होता है, और परिमाप के लिए रामानुजन का सटीक सन्निकटन उपयोग होता है: $$P \approx \pi (A + B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)$$ जहाँ \(h = (A - B)^2/(A + B)^2\)।
हल किया गया उदाहरण
केंद्र (2, −1) के लिए a = 5 और b = 3 के साथ समीकरण होगा $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 1)^2}{3^2} = 1$$ यहाँ A = 5, B = 3, इसलिए \(c = \sqrt{25 - 9} = 4\), उत्केंद्रता \(e = 4/5 = 0.8\), क्षेत्रफल \(= \pi \cdot 5 \cdot 3 \approx 47.12\), और परिमाप \(\approx 25.53\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कौन-सा अक्ष "दीर्घ" (major) होता है? जो भी अर्ध-अक्ष बड़ा हो वही। यदि a > b है तो दीर्घ अक्ष क्षैतिज होता है; यदि b > a है तो यह ऊर्ध्वाधर होता है।
यदि a = b हो तो क्या होगा? दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है, उत्केंद्रता 0 हो जाती है, और दोनों नाभियाँ केंद्र पर ही मिल जाती हैं।
क्या परिमाप बिल्कुल सटीक है? इसका कोई बंद-रूप (closed-form) सूत्र मौजूद नहीं है; यहाँ रामानुजन के सन्निकटन का उपयोग होता है, जो सामान्य दीर्घवृत्तों के लिए 0.01% से कहीं बेहतर सटीक है।
