楕円の標準形 計算ツールとは？
このツールは、中心座標と2つの半軸の値から楕円の標準形方程式を組み立てる計算機です。標準形で表すと、楕円の中心・向き・大きさがひと目で読み取れるうえ、焦点・面積・周長・離心率を求める際の出発点にもなります。軸に平行に置かれたあらゆる楕円に対応しており、純粋な数学計算なので国や地域に関係なく、どなたでもそのままご利用いただけます。
使い方
まず中心の座標 h（x方向）と k（y方向）を入力し、続いて2つの半軸の長さを入力します。a はx方向に測った半軸、b はy方向に測った半軸です。入力すると、ツールが方程式を自動で組み立て、長半軸A・短半軸B・焦点距離c・離心率e・面積、そして周長の近似値を表示します。
計算式の解説
標準形は次のように表されます。
$$\frac{\left(x - h\right)^2}{a^{\,2}} + \frac{\left(y - k\right)^2}{b^{\,2}} = 1$$
a と b のうち大きい方が長半軸A、小さい方が短半軸Bです。中心から各焦点までの距離は \(c = \sqrt{A^2 - B^2}\)、離心率は \(e = c / A\)（円のときは0、つぶれた楕円ほど1に近づきます）、面積は \(\pi \cdot a \cdot b\) で求められます。周長には、ラマヌジャンによる高精度な近似式 $$P \approx \pi (A + B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)$$（ただし \(h = (A - B)^2/(A + B)^2\)）を用いています。
計算例
中心(2, −1)、\(a = 5\)、\(b = 3\) の場合、方程式は $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 1)^2}{3^2} = 1$$ となります。このとき \(A = 5\)、\(B = 3\) なので、\(c = \sqrt{25 - 9} = 4\)、離心率 \(e = 4/5 = 0.8\)、面積 \(= \pi \cdot 5 \cdot 3 \approx 47.12\)、周長 \(\approx 25.53\) です。
よくある質問
どちらの軸が「長軸」になりますか？ 半軸が大きい方の軸が長軸です。\(a > b\) なら長軸は横向き（水平）、\(b > a\) なら縦向き（垂直）になります。
a = b のときはどうなりますか？ 楕円は円になり、離心率は0、2つの焦点は中心の一点に重なります。
周長は正確な値ですか？ 周長には厳密な閉じた式が存在しません。本ツールではラマヌジャンの近似式を使用しており、一般的な楕円では誤差0.01％をはるかに下回る高い精度が得られます。
