この計算ツールでできること
このツールは、標準形 \(ax^{2}+bx+c\) で書かれた二次関数を、平方完成を使って頂点形 \(a(x-h)^{2}+k\) に変換します。頂点形が便利なのは、放物線の折り返し点である頂点 \((h, k)\) がそのまま読み取れる点です。グラフの平行移動や対称軸の様子も一目でわかります。
使い方
お使いの二次関数から、3つの係数 a・b・c を入力してください。ツールが h と k を計算し、式を頂点形に書き直します。係数 a は標準形・頂点形のどちらでも変わりません。変わるのは、残りの項のまとめ方だけです。
計算式の解説
平方完成では、まず最初の2項から a をくくり出し、完全平方をつくるために必要な項を加えます。その結果、\(h = -b/(2a)\)、\(k = c - b^{2}/(4a)\) というシンプルな公式が得られます。 $$\text{a}\,(x-h)^{2}+k$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{-\,\text{b}}{2\,\text{a}} \\[0.4em] k &= \text{c} - \dfrac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}} \end{aligned} \right.$$ a は変わらないので、頂点形は \(y = a(x-h)^{2}+k\) と表せます。頂点 \((h, k)\) は、\(a > 0\) のとき最小値の点、\(a < 0\) のとき最大値の点になります。
計算例
\(y = x^{2}-6x+5\) を考えます。ここで \(a = 1\)、\(b = -6\)、\(c = 5\) です。すると $$h = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3$$ $$k = 5 - \frac{(-6)^{2}}{4\cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$ となります。したがって頂点形は \(y = (x-3)^{2}-4\) で、頂点は \((3, -4)\) です。
よくある質問
a = 0 のときはどうなりますか？ その場合は二次関数ではなく一次関数になり、放物線も頂点も存在しません。
k は必ず最小値になりますか？ k は a が正のとき y の最小値、a が負のとき最大値になります。
変換の前後で a は変わりますか？ 変わりません。最高次の係数 a は標準形でも頂点形でも同じです。
