이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 표준형 \(ax^2 + bx + c\)로 쓰인 이차식을 완전제곱식을 이용해 꼭짓점형 \(a(x - h)^2 + k\)로 변환합니다. 꼭짓점형이 편리한 이유는 포물선의 꼭짓점 \((h, k)\), 즉 그래프가 방향을 바꾸는 지점이 식에 그대로 드러나기 때문입니다. 덕분에 그래프의 평행이동과 변형도 한눈에 파악할 수 있습니다.
사용 방법
이차식의 세 계수 \(a\), \(b\), \(c\)를 입력하세요. 계산기가 \(h\)와 \(k\)를 구한 뒤 식을 꼭짓점형으로 다시 정리해 줍니다. 두 형태에서 계수 \(a\)는 그대로 유지되며, 나머지 항을 묶는 방식만 달라집니다.
공식 풀이
완전제곱식은 앞의 두 항에서 \(a\)를 묶어낸 뒤, 완전제곱 꼴을 만들기 위해 필요한 항을 더하는 과정입니다. 그 결과 간단한 공식 \(h = -b / (2a)\)와 \(k = c - b^2 / (4a)\)를 얻을 수 있습니다. \(a\)는 변하지 않으므로 완전한 꼭짓점형은 다음과 같습니다.
$$y = \text{a}\,(x-h)^{2}+k$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{-\,\text{b}}{2\,\text{a}} \\[0.4em] k &= \text{c} - \dfrac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}} \end{aligned} \right.$$
꼭짓점 \((h, k)\)는 \(a > 0\)일 때 최솟값, \(a < 0\)일 때 최댓값을 나타냅니다.
예제 풀이
\(y = x^2 - 6x + 5\)를 살펴보면 \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)입니다. 그러면 $$h = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3$$이고 $$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4\cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$가 됩니다. 따라서 꼭짓점형은 \(y = (x - 3)^2 - 4\)이고 꼭짓점은 \((3, -4)\)입니다.
자주 묻는 질문
\(a = 0\)이면 어떻게 되나요? 그 경우는 이차식이 아니라 일차식이므로 포물선도 꼭짓점도 존재하지 않습니다.
\(k\)는 항상 최솟값인가요? \(k\)는 \(a\)가 양수일 때 \(y\)의 최솟값, \(a\)가 음수일 때 최댓값입니다.
변환하면 \(a\) 값이 바뀌나요? 아닙니다. 최고차항의 계수 \(a\)는 표준형과 꼭짓점형에서 동일합니다.
