타원 표준형 방정식 계산기란?
이 계산기는 타원의 중심 좌표와 두 반축 값으로 타원의 표준형 방정식을 만들어 줍니다. 표준형으로 정리하면 타원의 중심, 방향, 크기를 한눈에 읽을 수 있고, 여기서 초점·넓이·둘레·이심률을 구하는 출발점이 됩니다. 축에 나란한 모든 타원에 적용되며, 순수 수학 도구이므로 국가나 지역에 상관없이 어디서나 그대로 사용할 수 있습니다.
사용 방법
먼저 중심 좌표 h(x)와 k(y)를 입력한 뒤, 두 반축 값을 넣습니다. a는 x축 방향, b는 y축 방향으로 잰 반축입니다. 그러면 계산기가 방정식을 완성하고 장반축 A, 단반축 B, 초점 거리 c, 이심률 e, 넓이, 그리고 둘레의 근삿값을 함께 알려 줍니다.
공식 설명
표준형은 다음과 같습니다.
$$\frac{\left(x - \text{h}\right)^2}{\text{a}^{\,2}} + \frac{\left(y - \text{k}\right)^2}{\text{b}^{\,2}} = 1$$
a와 b 중 큰 값이 장반축 A, 작은 값이 단반축 B입니다. 중심에서 각 초점까지의 거리는 \(c = \sqrt{A^2 - B^2}\)이고, 이심률은 \(e = \frac{c}{A}\)로 원이면 0, 매우 납작한 타원이면 1에 가까워집니다. 넓이는 \(\pi\cdot\text{a}\cdot\text{b}\)이며, 둘레는 라마누잔의 정밀한 근사식 $$P \approx \pi (A + B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)$$를 사용합니다. 여기서 \(h = \frac{(A - B)^2}{(A + B)^2}\)입니다.
예제 풀이
중심이 (2, −1)이고 \(a = 5\), \(b = 3\)인 경우 방정식은 $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 1)^2}{3^2} = 1$$이 됩니다. 이때 \(A = 5\), \(B = 3\)이므로 \(c = \sqrt{25 - 9} = 4\), 이심률 \(e = \frac{4}{5} = 0.8\), 넓이 \(= \pi\cdot 5\cdot 3 \approx 47.12\), 둘레 \(\approx 25.53\)입니다.
자주 묻는 질문
어느 축이 "장축"인가요? 두 반축 중 더 긴 쪽이 장축입니다. \(a > b\)이면 장축은 가로 방향, \(b > a\)이면 세로 방향입니다.
a = b이면 어떻게 되나요? 타원은 원이 되고 이심률은 0이 되며, 두 초점이 중심에서 하나로 겹칩니다.
둘레 값은 정확한가요? 타원 둘레에는 닫힌 형태의 정확한 공식이 없습니다. 그래서 라마누잔의 근사식을 쓰는데, 일반적인 타원에서는 오차가 0.01%보다 훨씬 작을 만큼 정밀합니다.
