이 계산기는 무엇을 하나요
원의 방정식은 두 가지 형태로 나타낼 수 있습니다. 표준형(중심·반지름 형태)은 \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\)로, 중심 \((h, k)\)와 반지름 \(r\)이 식 안에 그대로 드러납니다. 반면 일반형은 \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\)으로, 원의 정보가 세 개의 계수 안에 숨어 있습니다. 이 도구는 여러분이 입력한 중심과 반지름으로부터 \(D\), \(E\), \(F\)를 계산해 표준형을 일반형으로 변환해 줍니다.
사용 방법
먼저 중심 좌표 \(h\)와 \(k\)를 입력하고, 이어서 반지름 \(r\)을 입력하세요. 그러면 완성된 일반형 방정식과 함께 각 계수가 출력됩니다. 값은 양수, 음수, 0 모두 가능하며 소수점도 지원합니다.
공식 풀이
표준형을 전개하면 다음과 같은 관계식이 나옵니다.
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}.$$이 값들을 다시 \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\)에 대입하면 정확히 \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\)이 복원되므로, 이 변환은 오차 없이 정확하며 양방향으로 되돌릴 수 있습니다.
예제로 살펴보기
중심이 \((2, 3)\)이고 반지름이 \(5\)라고 해봅시다. 그러면
$$D = -2(2) = -4, \quad E = -2(3) = -6,$$$$F = 2^{2} + 3^{2} - 5^{2} = 4 + 9 - 25 = -12$$가 됩니다. 따라서 일반형은 \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0\)입니다.
자주 묻는 질문
반지름이 0이어도 되나요? 반지름이 0이면 하나의 점(퇴화된 원)을 나타냅니다. 이때도 공식은 그대로 적용되어 \(F = h^{2} + k^{2}\)이 됩니다.
F가 음수가 되는 이유는 무엇인가요? \(F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\)이기 때문입니다. 원점에서 중심까지의 거리에 비해 반지름이 크면 \(F\)가 음수가 되는데, 이는 정상적인 결과입니다.
다시 표준형으로 돌아가려면 어떻게 하나요? \(h = -D/2\), \(k = -E/2\), \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\) 공식을 사용하면 됩니다.
