ماذا تفعل هذه الحاسبة
يمكن كتابة معادلة الدائرة بطريقتين. الصورة القياسية (أو صورة المركز ونصف القطر) هي \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\)، وهي تُظهر المركز \((h, k)\) ونصف القطر \(r\) مباشرةً. أما الصورة العامة فهي \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\)، حيث تكون هذه المعلومات مخفية داخل ثلاثة معاملات. تقوم هذه الأداة بتحويل الصورة القياسية إلى الصورة العامة عبر حساب \(D\) و\(E\) و\(F\) انطلاقًا من المركز ونصف القطر اللذين تُدخلهما.
طريقة الاستخدام
أدخل إحداثيي المركز \(h\) و\(k\)، ثم نصف القطر \(r\). ستعرض الحاسبة معادلة الصورة العامة كاملةً إلى جانب كل معامل على حدة. ويمكن أن تكون القيم موجبة أو سالبة أو صفرًا، كما تدعم الأداة الأرقام العشرية.
شرح الصيغة الرياضية
عند فكّ الصورة القياسية نحصل على العلاقات المستخدمة هنا:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}.$$
وبالتعويض بهذه القيم في المعادلة \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) نعود تمامًا إلى \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\)، أي أن التحويل دقيق وقابل للعكس.
مثال محلول
لنفترض أن المركز هو \((2, 3)\) ونصف القطر يساوي 5. عندئذٍ يكون \(D = -2(2) = -4\)، وَ\(E = -2(3) = -6\)، وَ\(F = 2^{2} + 3^{2} - 5^{2} = 4 + 9 - 25 = -12\). وبذلك تكون الصورة العامة هي $$x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0.$$
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون نصف القطر صفرًا؟ نصف القطر الذي يساوي 0 يصف نقطة واحدة (دائرة متلاشية)، ومع ذلك تظل الصيغة صالحة وتعطي \(F = h^{2} + k^{2}\).
لماذا تكون قيمة F سالبة أحيانًا؟ لأن \(F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\). فعندما يكون نصف القطر كبيرًا مقارنةً ببُعد المركز عن نقطة الأصل، تصبح قيمة F سالبة، وهذا أمر طبيعي.
كيف أعود إلى الصورة القياسية؟ استخدم \(h = -D/2\)، وَ\(k = -E/2\)، وَ\(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\).
