यह कैलकुलेटर क्या करता है
किसी वृत्त को दो तरीकों से लिखा जा सकता है। स्टैंडर्ड फॉर्म (या केंद्र-त्रिज्या रूप) होता है \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), जो वृत्त का केंद्र \((h, k)\) और त्रिज्या \(r\) सीधे दिखा देता है। वहीं जनरल फॉर्म होता है \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), जिसमें यह जानकारी तीन गुणांकों के अंदर छिपी रहती है। यह टूल आपके दिए गए केंद्र और त्रिज्या से \(D\), \(E\) और \(F\) निकालकर स्टैंडर्ड फॉर्म को जनरल फॉर्म में बदल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले केंद्र के निर्देशांक \(h\) और \(k\) डालें, फिर त्रिज्या \(r\) भरें। कैलकुलेटर पूरा जनरल-फॉर्म समीकरण और साथ ही हर गुणांक अलग-अलग दिखा देगा। मान धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकते हैं, और दशमलव संख्याएं भी चलती हैं।
सूत्र की समझ
स्टैंडर्ड फॉर्म को विस्तृत (expand) करने पर यहां इस्तेमाल होने वाले संबंध मिलते हैं:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^2 + k^2 - r^2.$$
इन्हें वापस \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\) में रखने पर ठीक वही \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) बन जाता है, इसलिए यह रूपांतरण पूरी तरह सटीक है और इसे उल्टा भी किया जा सकता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए केंद्र \((2, 3)\) है और त्रिज्या \(5\) है। तब $$D = -2(2) = -4, \quad E = -2(3) = -6, \quad F = 2^2 + 3^2 - 5^2 = 4 + 9 - 25 = -12.$$ इसलिए जनरल फॉर्म होगा $$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0.$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या त्रिज्या शून्य हो सकती है? त्रिज्या \(0\) होने पर वृत्त सिर्फ एक बिंदु बन जाता है (एक अपभ्रष्ट या degenerate वृत्त); फिर भी सूत्र काम करता है और \(F = h^2 + k^2\) देता है।
F कभी-कभी ऋणात्मक क्यों आता है? \(F = h^2 + k^2 - r^2\)। जब त्रिज्या, मूल बिंदु (origin) से केंद्र की दूरी की तुलना में बड़ी हो, तो \(F\) ऋणात्मक हो जाता है — यह बिल्कुल सामान्य है।
वापस स्टैंडर्ड फॉर्म में कैसे जाएं? इन सूत्रों का उपयोग करें: \(h = -D/2\), \(k = -E/2\), और \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\)।
