Ce que fait ce calculateur
L'équation d'un cercle peut s'écrire de deux façons. La forme canonique (ou forme centre-rayon) s'écrit \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) : elle laisse apparaître directement le centre \((h, k)\) et le rayon \(r\). La forme générale, elle, s'écrit \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), où la structure du cercle est « cachée » dans trois coefficients. Cet outil passe de la forme canonique à la forme générale en calculant \(D\), \(E\) et \(F\) à partir du centre et du rayon que vous fournissez.
Comment l'utiliser
Indiquez les coordonnées du centre \(h\) et \(k\), puis le rayon \(r\). Le calculateur affiche l'équation complète sous forme générale, accompagnée de chacun des coefficients. Les valeurs peuvent être positives, négatives ou nulles, et les nombres décimaux sont pris en charge.
La formule expliquée
En développant la forme canonique, on obtient les relations utilisées ici :
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^2 + k^2 - r^2.$$En réinjectant ces valeurs dans \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), on retrouve exactement \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). La conversion est donc exacte et réversible.
Exemple résolu
Supposons que le centre soit \((2, 3)\) et le rayon égal à \(5\). On a alors $$D = -2(2) = -4, \quad E = -2(3) = -6, \quad F = 2^2 + 3^2 - 5^2 = 4 + 9 - 25 = -12.$$ La forme générale est donc $$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0.$$
FAQ
Le rayon peut-il être nul ? Un rayon égal à \(0\) décrit un point unique (un cercle dit dégénéré) ; la formule reste valable et donne \(F = h^2 + k^2\).
Pourquoi F est-il parfois négatif ? On a \(F = h^2 + k^2 - r^2\). Lorsque le rayon est grand par rapport à la distance du centre à l'origine, \(F\) devient négatif : c'est tout à fait normal.
Comment revenir à la forme canonique ? Utilisez \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) et \(r = \sqrt{h^2 + k^2 - F}\).
