Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Bir çember iki farklı şekilde yazılabilir. Standart form (merkez-yarıçap formu olarak da bilinir) \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) biçimindedir ve merkezi \((h, k)\) ile yarıçapı \(r\) doğrudan gösterir. Genel form ise \(x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0\) şeklindedir; burada çemberin yapısı üç katsayının içine gizlenmiştir. Bu araç, girdiğiniz merkez ve yarıçaptan D, E ve F katsayılarını hesaplayarak standart formu genel forma dönüştürür.
Nasıl Kullanılır?
Önce merkez koordinatları olan \(h\) ve \(k\) değerlerini, ardından yarıçap \(r\)'yi girin. Hesaplayıcı, tam genel form denklemini ve her bir katsayıyı ekrana getirir. Değerler pozitif, negatif veya sıfır olabilir; ondalıklı sayılar da desteklenir.
Formülün Açıklaması
Standart formu açtığımızda burada kullanılan bağıntılar ortaya çıkar:
$$D = -2h, \quad E = -2k, \quad F = h^{2} + k^{2} - r^{2}.$$Bu değerleri yeniden $$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$$ denkleminde yerine koyduğunuzda tam olarak \((x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}\) elde edilir. Dolayısıyla bu dönüşüm hem kesin hem de tersine çevrilebilir.
Çözümlü Örnek
Merkez \((2, 3)\) ve yarıçap 5 olsun. Bu durumda \(D = -2(2) = -4\), \(E = -2(3) = -6\) ve $$F = 2^{2} + 3^{2} - 5^{2} = 4 + 9 - 25 = -12$$ olur. Genel form denklemi şu şekildedir: $$x^{2} + y^{2} - 4x - 6y - 12 = 0.$$
Sık Sorulan Sorular
Yarıçap sıfır olabilir mi? Yarıçapın 0 olması tek bir noktayı (yozlaşmış/dejenere çember) tanımlar; formül yine de çalışır ve \(F = h^{2} + k^{2}\) sonucunu verir.
F neden bazen negatif çıkıyor? \(F = h^{2} + k^{2} - r^{2}\)'dir. Yarıçap, merkezin orijine olan uzaklığına göre büyük olduğunda F negatif olur — bu tamamen normaldir.
Standart forma nasıl geri dönerim? \(h = -D/2\), \(k = -E/2\) ve \(r = \sqrt{h^{2} + k^{2} - F}\) bağıntılarını kullanın.
