Bu Hesaplayıcı Ne İşe Yarar?
Bu araç, standart formda yazılmış \(ax^2 + bx + c\) şeklindeki ikinci dereceden bir denklemi, kareyi tamamlama yöntemiyle tepe noktası formu olan \(a(x - h)^2 + k\) biçimine dönüştürür. Tepe noktası formu pratiktir; çünkü parabolün dönüm noktası olan \((h, k)\) tepe noktasını doğrudan gösterir ve grafik dönüşümlerini kolayca görmenizi sağlar.
Nasıl Kullanılır?
İkinci dereceden denkleminizdeki üç katsayı olan \(a\), \(b\) ve \(c\) değerlerini girin. Hesaplayıcı \(h\) ve \(k\) değerlerini bulur ve denklemi tepe noktası formunda yeniden yazar. \(a\) katsayısı her iki formda da aynı kalır; yalnızca geri kalan terimlerin gruplanış biçimi değişir.
Formülün Açıklaması
Kareyi tamamlama işleminde \(a\), ilk iki terimden ortak parantezine alınır ve tam kareyi oluşturmak için gerekli terim eklenir. Sonuçta şu sade formüller elde edilir:
$$\begin{gathered} \text{a}\,(x-h)^{2}+k \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{-\,\text{b}}{2\,\text{a}} \\[0.4em] k &= \text{c} - \dfrac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$\(a\) değişmediği için tepe noktası formunun tamamı \(y = a(x - h)^2 + k\) şeklindedir. \((h, k)\) tepe noktası, \(a > 0\) olduğunda bir minimum, \(a < 0\) olduğunda ise bir maksimum noktasıdır.
Çözümlü Örnek
\(y = x^2 - 6x + 5\) denklemini ele alalım; yani \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Bu durumda
$$h = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3$$$$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4\cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$olur. Böylece tepe noktası formu \(y = (x - 3)^2 - 4\) olur ve tepe noktası \((3, -4)\)'tür.
Sıkça Sorulan Sorular
\(a = 0\) olursa ne olur? Bu durumda denklem ikinci dereceden değil, doğrusaldır; dolayısıyla ne bir parabol ne de bir tepe noktası bulunur.
\(k\) her zaman minimum değer midir? \(k\), \(a\) pozitif olduğunda en küçük \(y\) değerini, \(a\) negatif olduğunda ise en büyük \(y\) değerini ifade eder.
\(a\), formlar arasında değişir mi? Hayır. Baş katsayı \(a\), hem standart formda hem de tepe noktası formunda birebir aynıdır.
