Qué hace esta calculadora
Esta herramienta convierte una ecuación cuadrática escrita en forma estándar \(ax^2 + bx + c\) a su forma de vértice \(a(x - h)^2 + k\) mediante el método de completar el cuadrado. La forma de vértice resulta muy práctica porque muestra directamente el vértice \((h, k)\) —el punto de giro de la parábola— y permite visualizar con facilidad las transformaciones de la gráfica.
Cómo utilizarla
Introduce los tres coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) de tu cuadrática. La calculadora obtiene \(h\) y \(k\) y reescribe la ecuación en forma de vértice. El coeficiente \(a\) no cambia en ninguna de las dos formas; lo único que varía es cómo se agrupa el resto de la expresión.
La fórmula explicada
Completar el cuadrado consiste en sacar \(a\) como factor común de los dos primeros términos y añadir el término necesario para formar un cuadrado perfecto. El resultado son las fórmulas compactas \(h = -b / (2a)\) y \(k = c - b^2 / (4a)\). Como \(a\) no cambia, la forma de vértice completa es:
$$\text{a}\,(x-h)^{2}+k \\[1.5em] \text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{-\,\text{b}}{2\,\text{a}} \\[0.4em] k &= \text{c} - \dfrac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}} \end{aligned} \right.$$El vértice \((h, k)\) es un mínimo cuando \(a > 0\) y un máximo cuando \(a < 0\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(y = x^2 - 6x + 5\), de modo que \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\). Entonces:
$$h = \frac{-(-6)}{2\cdot 1} = 3$$$$k = 5 - \frac{(-6)^2}{4\cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4$$Así, la forma de vértice es \(y = (x - 3)^2 - 4\) con vértice \((3, -4)\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si \(a = 0\)? Entonces no es una cuadrática, sino una función lineal, y no hay parábola ni vértice.
¿\(k\) es siempre el mínimo? \(k\) es el valor mínimo de \(y\) cuando \(a\) es positivo, y el máximo cuando \(a\) es negativo.
¿Cambia \(a\) entre una forma y otra? No. El coeficiente principal \(a\) es idéntico en la forma estándar y en la forma de vértice.
