¿Qué es la calculadora de la forma canónica de la elipse?
Esta calculadora construye la ecuación canónica de una elipse a partir de las coordenadas de su centro y de sus dos semiejes. La forma canónica permite identificar de un vistazo el centro, la orientación y el tamaño de la elipse, y es el punto de partida para calcular los focos, el área, el perímetro y la excentricidad. La herramienta funciona con cualquier elipse alineada con los ejes y es totalmente universal (matemática pura, sin restricciones de país).
Cómo usarla
Introduce las coordenadas del centro h (x) y k (y) y, a continuación, los dos semiejes: a, medido en la dirección del eje x, y b, medido en la dirección del eje y. La calculadora arma la ecuación y muestra el semieje mayor A, el semieje menor B, la distancia focal c, la excentricidad e, el área y un perímetro aproximado.
La fórmula explicada
La forma canónica es:
$$\frac{\left(x - \text{h}\right)^2}{\text{a}^{\,2}} + \frac{\left(y - \text{k}\right)^2}{\text{b}^{\,2}} = 1$$
El mayor de los valores a y b es el semieje mayor A; el menor es el semieje menor B. La distancia del centro a cada foco es \(c = \sqrt{A^2 - B^2}\), la excentricidad es \(e = c / A\) (que va de 0 para una circunferencia hasta valores cercanos a 1 para una elipse muy alargada), el área es \(\pi\cdot a\cdot b\) y el perímetro se calcula con la precisa aproximación de Ramanujan \(P \approx \pi(A + B)\cdot\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)\), donde \(h = \frac{(A - B)^2}{(A + B)^2}\).
Ejemplo resuelto
Para el centro (2, −1) con a = 5 y b = 3, la ecuación es $$\frac{(x - 2)^2}{5^2} + \frac{(y + 1)^2}{3^2} = 1.$$ Aquí A = 5 y B = 3, de modo que \(c = \sqrt{25 - 9} = 4\), la excentricidad \(e = 4/5 = 0{,}8\), el área \(= \pi\cdot 5\cdot 3 \approx 47{,}12\) y el perímetro \(\approx 25{,}53\).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el eje «mayor»? El que corresponde al semieje más grande. Si a > b, el eje mayor es horizontal; si b > a, es vertical.
¿Qué ocurre si a = b? La elipse se convierte en una circunferencia, la excentricidad vale 0 y los dos focos coinciden en el centro.
¿Es exacto el perímetro? No existe una fórmula cerrada; el valor usa la aproximación de Ramanujan, con un error muy inferior al 0,01 % en las elipses habituales.
