Qué hace esta calculadora
Un esferoide es un elipsoide de revolución, es decir, el sólido que se obtiene al hacer girar una elipse alrededor de uno de sus ejes. Esta herramienta calcula la geometría de un segmento esferoidal: la porción que queda al cortar el esferoide con un plano perpendicular a su eje de rotación. Te devuelve el volumen del segmento, el área de la base del corte circular plano y el área de la superficie curva (lateral) de la pared.
Cómo usarla
Introduce el semieje ecuatorial a (el radio en las dos direcciones perpendiculares al eje), el semieje c a lo largo del eje de rotación y la altura h del segmento medida desde la punta inferior. Mantén los tres valores en la misma unidad de longitud; el volumen se expresa en unidad³ y las áreas en unidad². La altura debe cumplir \(0 < h \le 2c\); si fijas \(h = 2c\), obtienes el esferoide completo.
Las fórmulas explicadas
Para el esferoide \(x^2/a^2 + z^2/c^2 = 1\), el radio del disco a la altura axial \(z\) es \(r(z) = a\cdot\sqrt{1 - z^2/c^2}\). Al integrar \(\pi r^2\) desde la base (\(z = -c\)) hasta el corte (\(z = h - c\)) se obtiene $$V = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}^{2}}{3\,\text{c}^{2}}\left(3\,\text{c} - \text{h}\right)$$ El área de la base es \(\pi\) por el radio del corte al cuadrado: $$A = \frac{\pi\,\text{a}^{2}\,\text{h}\left(2\,\text{c} - \text{h}\right)}{\text{c}^{2}}$$ La pared curva es una superficie de revolución, $$S = 2\pi\int r\sqrt{1 + \left(\frac{dr}{dz}\right)^{2}}\;dz$$ que aquí se evalúa mediante integración numérica de paso fino, de modo que funciona igual de bien para formas prolatas, oblatas y esféricas.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 2\), \(c = 4\), \(h = 3\) (prolato, ya que \(c > a\)). $$V = \frac{\pi\cdot 4\cdot 9\cdot(12 - 3)}{3\cdot 16} = \frac{\pi\cdot 324}{48} \approx 21{,}206\ \text{unidad}^3$$ $$A_{base} = \frac{\pi\cdot 4\cdot 3\cdot(8 - 3)}{16} = \pi\cdot 3{,}75 \approx 11{,}781\ \text{unidad}^2$$ El área de la superficie curva da como resultado de la integral unas \(25{,}30\) unidad².
Preguntas frecuentes
¿El área de la base está incluida en el área de la superficie? No. El área de superficie que se muestra corresponde únicamente a la pared esferoidal curva. Suma el área de la base si necesitas la superficie total del segmento cerrado.
¿Qué ocurre si a es igual a c? El esferoide se convierte en una esfera de radio \(R = a = c\), y los resultados coinciden con las fórmulas estándar del casquete esférico: \(V = \pi h^2(3R - h)/3\) y \(S = 2\pi R h\).
¿Prolato u oblato? Prolato significa \(c > a\) (forma de huevo a lo largo del eje); oblato significa \(c < a\) (achatado). La integral numérica de la superficie maneja ambos casos sin cambiar la fórmula.
