¿Qué es la calculadora de volumen de un cilindro truncado?
Esta herramienta calcula el volumen, el área lateral (la cara curva) y el área total de un cilindro recto truncado: un cilindro de radio \(r\) cuya parte superior se ha cortado con un único plano plano que no es paralelo a la base. Ese corte da lugar a un lado corto de altura vertical \(h_1\) y a un lado alto de altura vertical \(h_2\). La base es un círculo plano y la tapa superior es una elipse. Los tres datos de entrada deben usar la misma unidad de longitud: el volumen se obtiene en unidades al cubo y las áreas en unidades al cuadrado.
Cómo utilizarla
Introduce el radio \(r\), la altura mínima (lado corto) \(h_1\) y la altura máxima (lado alto) \(h_2\). Las condiciones son \(r > 0\), \(h_1 \geq 0\) y \(h_2 \geq h_1\). Si por error escribes un \(h_1\) mayor que \(h_2\), la calculadora intercambia los valores, ya que la geometría es simétrica en cuanto a cómo se nombran los lados.
Las fórmulas explicadas
La tapa inclinada pasa por la línea del centroide, de modo que el volumen coincide con el de un cilindro normal cuya altura es la media de los dos lados:
$$V = \pi \, r^{2} \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}$$Al desplegar la pared curva se obtiene
$$S_{\text{lateral}} = \pi \, r \, (h_1 + h_2)$$El corte oblicuo es una elipse con semieje menor \(r\) y semieje mayor \(r / \cos(\theta)\), donde \(\tan(\theta) = \frac{h_2 - h_1}{2r}\); su área es
$$A_{\text{tapa}} = \pi \, r^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{2r}\right)^{2}}$$Si sumamos la base plana \(A_{\text{base}} = \pi \, r^{2}\), obtenemos el área total
$$S = S_{\text{lateral}} + A_{\text{tapa}} + A_{\text{base}}$$
Ejemplo resuelto
Para \(r = 5\), \(h_1 = 8\), \(h_2 = 12\): \(h_{\text{Media}} = 10\), así que
$$V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \approx 785{,}398$$Área lateral \(= \pi \cdot 5 \cdot 20 = 100\pi \approx 314{,}159\). La pendiente es \(\frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = 0{,}4\), por lo que \(A_{\text{tapa}} = \pi \cdot 25 \cdot \sqrt{1{,}16} \approx 84{,}590\). Base \(= 25\pi \approx 78{,}540\). El área total resulta
$$\approx 314{,}159 + 84{,}590 + 78{,}540 = 477{,}289$$Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si h1 es igual a h2? El sólido se convierte en un cilindro normal: la pendiente es 0, ambas tapas son círculos de área \(\pi r^{2}\) y las fórmulas se simplifican correctamente.
¿Por qué la tapa es más grande que la base? Un plano inclinado que atraviesa un cilindro traza una elipse, cuya área siempre es mayor que la de la sección circular perpendicular.
¿Tengo que convertir las unidades? Solo necesitas que los tres datos usen la misma unidad. Los resultados salen automáticamente en esa unidad al cubo (volumen) o al cuadrado (áreas).
