Qu'est-ce que le calculateur de volume d'un cylindre tronqué ?
Cet outil détermine le volume, l'aire latérale et l'aire totale d'un cylindre droit tronqué — un cylindre de rayon \(r\) dont le sommet est sectionné par un seul plan, incliné par rapport à la base. Cette coupe en biais crée un côté court de hauteur verticale \(h_1\) et un côté haut de hauteur verticale \(h_2\). La base est un disque plat et le sommet forme une ellipse. Les trois valeurs saisies utilisent la même unité de longueur : le volume s'exprime alors en unités au cube et les aires en unités au carré.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon \(r\), la hauteur minimale (côté court) \(h_1\) et la hauteur maximale (côté haut) \(h_2\). Les conditions à respecter sont \(r > 0\), \(h_1 \geq 0\) et \(h_2 \geq h_1\). Si vous indiquez par mégarde une valeur \(h_1\) supérieure à \(h_2\), le calculateur les intervertit automatiquement, car la géométrie reste symétrique quel que soit le nom donné à chaque côté.
Les formules expliquées
Le sommet incliné passe par la ligne du centre de gravité : le volume est donc égal à celui d'un cylindre ordinaire dont la hauteur correspond à la moyenne des deux côtés :
$$V = \pi \, r^{2} \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}$$En déroulant la paroi courbe, on obtient \(S_{\text{lat}} = \pi \, r \, (h_1 + h_2)\). La coupe oblique dessine une ellipse de demi-petit axe \(r\) et de demi-grand axe \(r / \cos(\theta)\), où \(\tan(\theta) = \frac{h_2 - h_1}{2r}\) ; son aire vaut \(A_{\text{sommet}} = \pi \, r^{2} \sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{2r}\right)^{2}}\). En ajoutant la base plate \(A_{\text{base}} = \pi \, r^{2}\), on obtient l'aire totale \(S = S_{\text{lat}} + A_{\text{sommet}} + A_{\text{base}}\).
Exemple concret
Pour \(r = 5\), \(h_1 = 8\), \(h_2 = 12\) : la hauteur moyenne vaut \(10\), donc
$$V = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi \approx 785{,}398$$L'aire latérale \(= \pi \cdot 5 \cdot 20 = 100\pi \approx 314{,}159\). La pente \(= \frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = 0{,}4\), d'où \(A_{\text{sommet}} = \pi \cdot 25 \cdot \sqrt{1{,}16} \approx 84{,}590\). La base \(= 25\pi \approx 78{,}540\). L'aire totale \(\approx 314{,}159 + 84{,}590 + 78{,}540 = 477{,}289\).
FAQ
Que se passe-t-il si \(h_1\) est égal à \(h_2\) ? Le solide redevient un cylindre ordinaire : la pente est nulle, les deux extrémités sont des disques d'aire \(\pi r^{2}\), et les formules se simplifient correctement.
Pourquoi le sommet est-il plus grand que la base ? Un plan incliné qui traverse un cylindre dessine une ellipse, dont l'aire est toujours supérieure à celle de la section circulaire perpendiculaire.
Dois-je convertir les unités ? Il suffit que les trois valeurs saisies utilisent la même unité. Les résultats en découlent automatiquement, dans cette unité au cube (volume) ou au carré (aires).
