Qu'est-ce que le calculateur du centre d'un cercle ?
Cet outil détermine le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation sous forme générale : \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Plutôt que de compléter le carré à la main, il vous suffit de saisir les trois coefficients D, E et F pour obtenir instantanément les coordonnées du centre \((h, k)\) ainsi que le rayon. C'est un outil mathématique universel qui fonctionne avec n'importe quelle équation de cercle valide.
Comment l'utiliser
Commencez par réécrire votre équation sous la forme \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\), de manière à ce que les coefficients de \(x^2\) et de \(y^2\) soient tous deux égaux à 1. Vous pouvez alors identifier :
- D — le coefficient devant x
- E — le coefficient devant y
- F — le terme constant
Saisissez chaque valeur (avec son signe) et le calculateur vous renvoie le centre et le rayon.
La formule expliquée
En complétant le carré, l'équation générale peut se réécrire sous la forme \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). On en déduit alors que le centre se situe en :
$$\left(h,\, k\right) = \left(-\frac{\text{D}}{2},\; -\frac{\text{E}}{2}\right)$$
Le rayon s'obtient grâce à \(r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}\). Si la valeur sous la racine carrée est négative, l'équation ne décrit aucun cercle réel.
Exemple résolu
Prenons \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\), soit \(D = -6\), \(E = 8\) et \(F = 9\).
Abscisse du centre $$x = -\frac{-6}{2} = 3.$$ Ordonnée du centre $$y = -\frac{8}{2} = -4.$$ Le centre est donc le point \((3, -4)\).
$$\text{Rayon} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 - 9} = \sqrt{9 + 16 - 9} = \sqrt{16} = 4.$$
Questions fréquentes
Que faire si mon équation contient un coefficient du type \(2x^2 + 2y^2\) ? Divisez d'abord toute l'équation par ce coefficient pour que \(x^2\) et \(y^2\) aient chacun un coefficient égal à 1, puis identifiez D, E et F.
Pourquoi mon rayon vaut-il zéro ? Si \(\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F\) est nul ou négatif, l'équation représente un point unique ou aucun cercle réel ; dans ce cas, le calculateur affiche 0.
Que signifie (h, k) ? C'est la notation standard du centre d'un cercle, où h désigne l'abscisse (coordonnée x) et k l'ordonnée (coordonnée y).
