Qu'est-ce que la forme polaire ?
Tout nombre complexe peut s'écrire de deux manières. La forme algébrique (ou cartésienne) est \(a + bi\), où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. La forme polaire, elle, exprime le même nombre à partir de sa distance à l'origine et de sa direction : \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\), souvent notée \(r\angle\theta\) ou sous forme exponentielle complexe \(r\cdot e^{i\theta}\). Ce calculateur convertit n'importe quel nombre complexe algébrique en forme polaire, en vous donnant le module r et l'argument θ à la fois en degrés et en radians.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez la partie réelle a et la partie imaginaire b de votre nombre complexe, puis lisez directement les résultats. Le module indique à quelle distance le point se situe de l'origine, tandis que l'argument donne sa direction par rapport à l'axe des réels positifs. Les deux formes décrivent exactement le même point dans le plan complexe.
La formule expliquée
Le module se calcule grâce au théorème de Pythagore :
$$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$L'argument utilise l'arc tangente à deux arguments,
$$\theta = \operatorname{atan2}(b, a)$$qui renvoie automatiquement le bon quadrant — ce que le simple \(\arctan(b/a)\) ne peut pas faire, car il perd l'information sur le signe. Le résultat est compris dans l'intervalle \((-180°, 180°]\). Pour convertir des radians en degrés, multipliez par \(180/\pi\).
Exemple résolu
Prenons le nombre complexe \(3 + 4i\). Le module vaut
$$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$L'argument vaut
$$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}9273 \text{ radian} \approx 53{,}13°$$On a donc \(3 + 4i = 5(\cos 53{,}13° + i\cdot\sin 53{,}13°)\).
FAQ
Pourquoi utiliser atan2 plutôt qu'arctan ? Parce qu'atan2 tient compte des signes de a et de b à la fois, ce qui place l'argument dans le bon quadrant. Par exemple, \(-1 - i\) serait mal positionné par un simple arctan.
Quel est l'intervalle de l'argument ? L'argument est renvoyé entre −180° et +180° (soit entre \(-\pi\) et \(\pi\) radians). Ajoutez 360° si vous préférez un résultat dans l'intervalle 0–360°.
Que se passe-t-il si a et b sont tous deux nuls ? Dans ce cas, \(r = 0\) et l'argument n'est pas défini (ce calculateur renvoie alors 0).
