ध्रुवीय रूप क्या है?
हर सम्मिश्र संख्या को दो तरीकों से लिखा जा सकता है। आयताकार (या कार्तीय) रूप होता है \(a + bi\), जहाँ a वास्तविक भाग है और b काल्पनिक भाग। ध्रुवीय रूप उसी संख्या को मूल बिंदु से उसकी दूरी और दिशा के ज़रिए दर्शाता है: \(r(\cos\theta + i\cdot\sin\theta)\), जिसे अक्सर संक्षेप में \(r\angle\theta\) लिखा जाता है या सम्मिश्र घातांकीय रूप \(r\cdot e^{i\theta}\) के रूप में। यह कैलकुलेटर किसी भी आयताकार सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में बदल देता है और आपको परिमाण r तथा कोण θ दोनों — डिग्री और रेडियन में — देता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b दर्ज करें, फिर परिणाम पढ़ लें। परिमाण बताता है कि बिंदु मूल बिंदु से कितनी दूर है, और कोण उसकी दिशा बताता है जो धनात्मक वास्तविक अक्ष के सापेक्ष होती है। दोनों रूप सम्मिश्र तल पर ठीक एक ही बिंदु को दर्शाते हैं।
सूत्र की व्याख्या
परिमाण पाइथागोरस प्रमेय से निकाला जाता है: $$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$ कोण के लिए दो-तर्क वाला आर्कटैन्जेंट इस्तेमाल होता है, $$\theta = \operatorname{atan2}(b, a),$$ जो अपने-आप सही चतुर्थांश (quadrant) लौटाता है — यह काम साधारण \(\arctan(b/a)\) नहीं कर पाता क्योंकि वह चिह्न की जानकारी खो देता है। परिणाम (−180°, 180°] की सीमा में मिलता है। रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए \(180/\pi\) से गुणा करें।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए सम्मिश्र संख्या \(3 + 4i\) है। परिमाण होगा $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ कोण होगा $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0.9273 \text{ रेडियन} \approx 53.13^\circ.$$ इसलिए $$3 + 4i = 5(\cos 53.13^\circ + i\cdot\sin 53.13^\circ).$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
arctan की जगह atan2 क्यों इस्तेमाल करें? क्योंकि atan2 a और b दोनों के चिह्नों पर ध्यान देता है, इसलिए कोण को सही चतुर्थांश में रखता है। उदाहरण के लिए, \(-1 - i\) को साधारण arctan गलत जगह दर्शा देगा।
मुझे कोण किस सीमा में मिलेगा? कोण −180° से +180° के बीच (या −π से π रेडियन) लौटाया जाता है। यदि आप 0–360° वाला परिणाम चाहते हैं तो 360° जोड़ दें।
अगर a और b दोनों शून्य हों तो? तब \(r = 0\) होगा और कोण अपरिभाषित रहेगा (यह कैलकुलेटर 0 लौटाता है)।
