सम्मिश्र से आयताकार रूप कैलकुलेटर क्या है?
किसी भी सम्मिश्र संख्या (complex number) को दो समतुल्य तरीकों से लिखा जा सकता है। ध्रुवीय रूप (polar form) इसे एक परिमाण r (मूल बिंदु से इसकी दूरी) और एक कोण θ (इसकी दिशा) के रूप में दर्शाता है। वहीं आयताकार रूप (rectangular form) इसे a + bi के रूप में लिखता है, जहाँ a वास्तविक भाग है और b काल्पनिक भाग। यह कैलकुलेटर ध्रुवीय निर्देशांकों को पलक झपकते ही आयताकार रूप में बदल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
परिमाण r और कोण θ दर्ज करें, फिर चुनें कि कोण डिग्री में है या रेडियन में। कैलकुलेटर वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों लौटाता है और पूरी a + bi अभिव्यक्ति भी दिखाता है। डिग्री को आंतरिक रूप से \( \theta \times \frac{\pi}{180} \) सूत्र से रेडियन में बदला जाता है।
सूत्र की व्याख्या
यह रूपांतरण सीधे सम्मिश्र तल (complex plane) की त्रिकोणमिति से आता है। दूरी r और कोण θ पर स्थित किसी बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक \( a = r\cdot\cos(\theta) \) और ऊर्ध्वाधर निर्देशांक \( b = r\cdot\sin(\theta) \) होता है। इसलिए सम्मिश्र संख्या
$$ z = \text{r}\cos\!\left(\theta\right) + \text{r}\sin\!\left(\theta\right)i = a + bi $$बन जाती है — जो असल में यूलर के संबंध (\( r\cdot e^{i\theta} \)) का ही दूसरा रूप है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए r = 5 और θ = 53.13°। तब
$$ a = 5 \times \cos(53.13°) \approx 5 \times 0.6 = 3.00 $$$$ b = 5 \times \sin(53.13°) \approx 5 \times 0.8 = 4.00 $$होगा। आयताकार रूप लगभग 3 + 4i आता है — वही प्रसिद्ध 3-4-5 त्रिभुज।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर कोण ऋणात्मक हो तो? ऋणात्मक कोण बस घड़ी की दिशा में घुमाव दर्शाते हैं। cosine और sine चिह्नों को अपने आप संभाल लेते हैं, इसलिए b ऋणात्मक भी आ सकता है (जैसे 3 − 4i)।
डिग्री चुनें या रेडियन? दोनों ही उपलब्ध हैं। वही इकाई चुनें जो आपके स्रोत आँकड़ों से मेल खाती हो; रूपांतरण के बाद परिणाम एक जैसा ही रहता है।
यह आयताकार से ध्रुवीय वाले से कैसे अलग है? यह टूल (r, θ) से (a, b) की ओर जाता है। इसका उल्टा रूपांतरण \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) और \( \theta = \operatorname{atan2}(b, a) \) का उपयोग करता है।
