À quoi sert ce convertisseur de forme polaire en forme algébrique ?
Un nombre complexe peut s'écrire de deux manières équivalentes. La forme polaire (ou trigonométrique) le décrit à l'aide d'un module r (sa distance à l'origine) et d'un argument θ (sa direction). La forme algébrique l'écrit sous la forme a + bi, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Ce calculateur convertit instantanément des coordonnées polaires en forme algébrique.
Comment l'utiliser
Saisissez le module r et l'argument θ, puis indiquez si l'angle est exprimé en degrés ou en radians. Le calculateur affiche la partie réelle et la partie imaginaire ainsi que l'expression complète a + bi. En interne, les degrés sont convertis en radians grâce à la formule \(\theta\times\frac{\pi}{180}\).
La formule expliquée
La conversion découle directement de la trigonométrie appliquée au plan complexe. Un point situé à la distance r et à l'angle θ a pour abscisse \(a = r\cdot\cos(\theta)\) et pour ordonnée \(b = r\cdot\sin(\theta)\). Le nombre complexe s'écrit donc
$$z = \text{r}\cos\!\left(\theta\right) + \text{r}\sin\!\left(\theta\right)i = a + bi$$ce qui n'est autre que la formule d'Euler déguisée (\(r\cdot e^{i\theta}\)).
Exemple détaillé
Prenons r = 5 et θ = 53,13°. On obtient alors
$$a = 5 \times \cos(53{,}13°) \approx 5 \times 0{,}6 = 3{,}00$$$$b = 5 \times \sin(53{,}13°) \approx 5 \times 0{,}8 = 4{,}00$$La forme algébrique est donc environ 3 + 4i : c'est le célèbre triangle 3-4-5.
Questions fréquentes
Et si l'angle est négatif ? Un angle négatif correspond simplement à une rotation dans le sens horaire. Le cosinus et le sinus gèrent automatiquement les signes : la valeur de b peut donc être négative (par exemple 3 − 4i).
Degrés ou radians ? Les deux unités sont prises en charge. Choisissez celle qui correspond à vos données de départ ; le résultat est identique une fois la conversion effectuée.
Quelle est la différence avec la conversion algébrique vers polaire ? Cet outil passe de (r, θ) à (a, b). L'opération inverse utilise \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) et \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\).
