Qu'est-ce que l'argument d'un nombre complexe ?
Tout nombre complexe \(z = a + bi\) peut être représenté par un point \((a, b)\) dans le plan complexe. Son argument (que l'on appelle aussi la phase) est l'angle formé entre l'axe des réels positifs et la droite reliant l'origine à ce point, mesuré dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre). Associé au module \(|z|\), l'argument permet d'écrire le nombre complexe sous sa forme trigonométrique : $$z = |z|(\cos\theta + i\cdot\sin\theta).$$
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la partie réelle a et la partie imaginaire b de votre nombre complexe \(a + bi\). Le calculateur affiche l'argument à la fois en radians et en degrés, ainsi que le module. Les valeurs négatives sont acceptées, et le résultat est automatiquement placé dans le bon quadrant.
La formule expliquée
Une approche trop simple consisterait à utiliser \(\theta = \arctan(b/a)\), mais elle échoue lorsque \(a = 0\) et ne permet pas de distinguer les quadrants. On lui préfère donc la fonction à deux arguments \(\operatorname{atan2}(b, a)\), qui examine les signes de \(a\) et de \(b\) pour renvoyer l'angle correct dans l'intervalle \((-\pi, \pi]\). $$\arg z = \operatorname{atan2}\left(\text{Imaginary }b,\ \text{Real }a\right)$$ Le module correspond à la distance euclidienne $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}.$$
Exemple résolu
Pour \(z = 1 + i\), on a \(a = 1\) et \(b = 1\). On obtient alors $$\arg(z) = \operatorname{atan2}(1, 1) = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854 \text{ radian} = 45°,$$ et \(|z| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Le point \(1 + i\) se situe donc sur la droite \(y = x\), dans le premier quadrant, exactement comme on pouvait s'y attendre.
FAQ
Quel est l'intervalle de l'argument ? Par convention, la valeur principale appartient à l'intervalle \((-\pi, \pi]\), soit de -180° à 180°.
Que vaut \(\arg(0)\) ? L'argument de zéro n'est pas défini ; ici, \(\operatorname{atan2}(0, 0)\) renvoie 0, mais cet angle n'a aucune signification réelle lorsque \(|z| = 0\).
Pourquoi proposer les degrés et les radians ? Les radians sont l'unité standard en analyse et dans la formule d'Euler, tandis que les degrés sont souvent plus faciles à visualiser. Les deux sont fournis pour plus de commodité.
