À quoi sert ce calculateur de racine carrée complexe ?
Cet outil détermine la racine carrée de n'importe quel nombre complexe de la forme \(a + bi\), où \(a\) désigne la partie réelle et \(b\) la partie imaginaire. Tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre : le calculateur affiche la racine principale et rappelle que l'autre racine est simplement son opposée.
Mode d'emploi
Saisissez la partie réelle (\(a\)) et la partie imaginaire (\(b\)) de votre nombre complexe, puis lisez directement le résultat. Pour un nombre réel négatif comme \(-4\), il suffit de poser \(a = -4\) et \(b = 0\). Le calculateur indique aussi le module du nombre saisi ainsi que le module de la racine obtenue.
La formule expliquée
Si \(z = a + bi\) a pour module \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\), la racine carrée principale s'écrit :
$$\sqrt{z} = \sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + \operatorname{sgn}(b)\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}\;i$$Le signe de \(b\) détermine celui de la partie imaginaire. Lorsque \(b = 0\) et \(a \geq 0\), la racine est purement réelle ; lorsque \(b = 0\) et \(a < 0\), elle est purement imaginaire. Le module de la racine vaut \(\sqrt{|z|}\).
Exemple détaillé
Prenons \(z = 3 + 4i\). On a alors \(|z| = \sqrt{9 + 16} = 5\). La partie réelle de la racine vaut \(\sqrt{\frac{5 + 3}{2}} = \sqrt{4} = 2\). Comme \(b > 0\), la partie imaginaire est \(+\sqrt{\frac{5 - 3}{2}} = \sqrt{1} = 1\). Ainsi $$\sqrt{3 + 4i} = 2 + i$$ (et l'autre racine est \(-2 - i\)).
FAQ
Pourquoi y a-t-il deux racines carrées ? L'élévation au carré annule le signe : si \(w^{2} = z\), alors \((-w)^{2} = z\) également. Les deux racines ne diffèrent jamais que par leur signe.
Qu'est-ce que la racine principale ? Par convention, c'est la racine dont la partie réelle est positive ou nulle (et, lorsque cette partie réelle est nulle, dont la partie imaginaire est positive ou nulle).
Peut-on prendre la racine d'un nombre réel négatif ? Oui. Posez \(b = 0\) et une valeur négative pour \(a\) ; par exemple \(\sqrt{-4} = 2i\).
