Qu'est-ce que le calculateur de développement binomial ?
Cet outil développe l'expression \((a + b)^{n}\) à l'aide du binôme de Newton (la formule du binôme). Il affiche la valeur numérique de l'expression, le nombre de termes obtenus, ainsi que la liste complète de chaque coefficient binomial \(C(n,k)\) accompagné de chaque terme. Il fonctionne pour tout exposant entier positif ou nul jusqu'à 20 et pour n'importe quels coefficients réels \(a\) et \(b\).
Comment l'utiliser
Saisissez le coefficient du premier terme a, celui du second terme b, puis l'exposant n. Cliquez sur « Calculer ». L'encadré principal indique la valeur totale de \((a + b)^{n}\), tandis que le tableau confirme le nombre de termes et la somme de tous les termes développés (qui doit être égale à cette valeur). L'encadré du développement détaille chaque coefficient et chaque terme, pour vérifier vos calculs en toute confiance.
La formule expliquée
Le binôme de Newton énonce que \((a + b)^{n}\) est égal à la somme, pour \(k\) allant de 0 à \(n\), de \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\). La formule complète s'écrit :
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$Les coefficients \(C(n,k)\) forment une ligne du triangle de Pascal. Nous les calculons efficacement grâce à la relation de récurrence \(C(n,k) = C(n,k-1) \cdot (n - k + 1) / k\), ce qui évite de manipuler de grandes factorielles.
Exemple détaillé
Pour \((1 + 1)^{4}\) : les coefficients sont 1, 4, 6, 4, 1. Comme \(a = b = 1\), chaque terme est égal à son coefficient ; le développement vaut donc $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16,$$ ce qui correspond bien à \(2^{4} = 16\). Le calculateur produit 5 termes et une valeur de 16.
Référence du Triangle de Pascal (Lignes n = 0 à 10)
Chaque ligne \(n\) du triangle de Pascal répertorie les coefficients binomiaux \(\binom{n}{k}\) pour \(k = 0, 1, \dots, n\). Ce sont exactement les coefficients qui apparaissent lors du développement de \((a+b)^n\). Chaque entrée intérieure égale la somme des deux entrées directement au-dessus, et les entrées dans chaque ligne somment à \(2^n\).
| \(n\) | Coefficients \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | Somme de la ligne \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
Par exemple, le coefficient du milieu à la ligne 10 est 252, trouvé à \(k=5\). Chaque ligne est symétrique car \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
Autres exemples travaillés
Exemple 1 : \((x+2)^3\)
Ici \(a=x\), \(b=2\), et \(n=3\). Les coefficients de la ligne 3 sont \(1, 3, 3, 1\). Substituez dans \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\) :
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$Les puissances de \(x\) descendent \(3 \to 0\) tandis que les puissances de \(2\) montent \(0 \to 3\).
Exemple 2 : \((2a-b)^4\) — signes alternés
Écrivez la soustraction comme \(b \to -b\), donc les termes de base sont \(2a\) et \(-b\), avec \(n=4\) et coefficients \(1, 4, 6, 4, 1\) :
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$Parce que \((-b)^k\) est négatif pour \(k\) impair et positif pour \(k\) pair, les signes alternent \(+,-,+,-,+\).
Exemple 3 : \((x+1)^6\) — puissances ascendantes/descendantes explicites
Avec \(a=x\), \(b=1\), \(n=6\), les coefficients de la ligne 6 sont \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). Puisque chaque puissance de \(1\) est \(1\), les coefficients apparaissent directement :
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$Le coefficient central \(20\) égale 20, c'est-à-dire \(\binom{6}{3}\). L'exposant sur \(x\) descend de \(6\) à \(0\) à travers les sept termes.
Termes clés et variables
- \(a\) — premier terme de base
- La première quantité à l'intérieur du binôme \((a+b)^n\). Dans chaque terme développé, il est élevé à la puissance descendante \(a^{n-k}\).
- \(b\) — deuxième terme de base
- La deuxième quantité à l'intérieur du binôme. Il est élevé à la puissance ascendante \(b^{k}\). Pour une soustraction \((a-b)^n\), traitez \(b\) comme négatif afin que les signes alternent.
- \(n\) — exposant (degré)
- La puissance à laquelle le binôme est élevé. Pour un entier non négatif \(n\), le développement a exactement \(n+1\) termes, et \(n\) sélectionne la ligne \(n\) du triangle de Pascal.
- \(k\) — indice de sommation
- Le compteur qui s'exécute de \(0\) à \(n\) dans \(\sum_{k=0}^{n}\). Il identifie la position de chaque terme et définit les puissances \(a^{n-k}b^{k}\).
- \(\binom{n}{k}\) — coefficient binomial
- Lu « n parmi k », calculé comme \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). C'est le multiplicateur numérique (aussi le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\)) sur le terme avec l'indice \(k\).
- Un seul terme
- Un sommand complet de la forme \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\) : un coefficient multiplié par une puissance de \(a\) et une puissance de \(b\), dont les exposants totalisent toujours \(n\).
Questions fréquentes
n peut-il être une fraction ou un nombre négatif ? Ce calculateur n'accepte que les exposants entiers positifs ou nuls (de 0 à 20) ; dans ce cas, le développement comporte exactement \(n + 1\) termes.
Que signifie la ligne « somme des termes » ? Elle additionne tous les termes développés à titre de vérification ; elle doit toujours être égale à la valeur annoncée de \((a + b)^{n}\).
Pourquoi la liste des coefficients utilise-t-elle la notation C(n,k) ? \(C(n,k)\) est la notation standard du coefficient binomial, égal à \(n! / (k!(n-k)!)\) ; il indique le facteur multiplicatif de chaque terme.
