Calculateur de loi binomiale (densité et probabilité cumulée)

x	f(x)
0	0,003171212
1	0,021141413
2	0,066947808
3	0,133895615
4	0,189685455
5	0,202331152
6	0,168609293
7	0,112406195
8	0,060886689
9	0,027060751
10	0,009922275
11	0,00300675
12	0,000751688

Qu'est-ce que la loi binomiale ?

La loi binomiale décrit le nombre de succès x au cours d'un nombre fixe d'essais indépendants n, chaque essai ayant la même probabilité de succès p (épreuve de Bernoulli). Elle répond à des questions du type : « quelle est la probabilité d'obtenir exactement 5 fois pile sur 20 lancers de pièce ? » Il s'agit de mathématiques pures, valables partout à l'identique, sans unité ni cadre juridique particulier.

Bar chart of a binomial probability mass function — The binomial PMF gives the probability of x successes in n independent trials.

Comment utiliser ce calculateur

Choisissez d'abord la fonction à calculer : la densité $f(x)$ (la probabilité d'obtenir exactement $x$ succès), la probabilité cumulée basse $P(X \le x)$ ou la probabilité cumulée haute $Q(X \ge x)$. Indiquez le nombre d'essais $n$, la probabilité de succès par essai $p$ (comprise entre 0 et 1), puis définissez la première valeur de succès ($x$ initial), le pas entre chaque ligne et le nombre de lignes à générer. L'outil dresse le tableau et trace le graphique de la fonction sélectionnée sous forme d'histogramme discret, barres jointives.

La formule expliquée

La fonction de densité s'écrit $$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{\,n-x}$$ où $\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$ est le coefficient binomial. La probabilité cumulée basse $P(x)$ somme $f$ pour $t = 0..x$, et la probabilité cumulée haute $Q(x)$ somme $f$ pour $t = x..n$. Pour éviter le dépassement de capacité lié aux factorielles quand $n$ est grand, ce calculateur évalue le coefficient à l'aide de la fonction log-gamma : $$\ln f = \ln\Gamma(n+1) - \ln\Gamma(x+1) - \ln\Gamma(n-x+1) + x\cdot\ln p + (n-x)\cdot\ln(1-p)$$ L'espérance de la loi vaut $np$ et la variance $np(1-p)$.

Three bar charts comparing PMF, lower cumulative, and upper cumulative — PMF f(x), lower cumulative P(X≤x), and upper cumulative Q(X≥x) compared.

Diagram showing the parts of the binomial formula — The formula multiplies the number of arrangements by the probability of each outcome.

Exemple résolu

Pour $n = 20$ et $p = 0{,}25$, l'évaluation de la densité pour $x = 0..12$ donne : $f(0) \approx 0{,}003171$, $f(1) \approx 0{,}021142$, $f(2) \approx 0{,}066948$, $f(3) \approx 0{,}133897$, $f(4) \approx 0{,}189691$ et $f(5) \approx 0{,}202337$. Le maximum est atteint en $x = 5$, qui correspond exactement à l'espérance $$np = 20 \times 0{,}25 = 5$$ comme prévu.

Définitions et Glossaire

Essai : Une seule répétition d'une expérience aléatoire avec un ensemble fixe et défini de résultats possibles.
Essai de Bernoulli : Un essai ayant exactement deux résultats mutuellement exclusifs, conventionnellement étiquetés « succès » et « échec ».
Probabilité de succès $p$ : La probabilité qu'un seul essai aboutisse à un succès, avec $0 \le p \le 1$. On suppose qu'elle est constante pour tous les essais.
Nombre d'essais $n$ : Le nombre fixe d'essais de Bernoulli indépendants dans l'expérience, un entier non-négatif.
Succès $x$ : Le nombre observé de succès parmi les $n$ essais ; $x$ est un entier tel que $0 \le x \le n$.
FMP $f(x)$ : La fonction de masse de probabilité, donnant la probabilité d'exactement $x$ succès : $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$.
Cumulative inférieure $P(X\le x)$ : La fonction de distribution cumulée, la probabilité d'au plus $x$ succès : $P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)$.
Cumulative supérieure $Q(X\ge x)$ : La probabilité d'au moins $x$ succès : $Q(X\ge x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X\le x-1)$.
Coefficient binomial $\binom{n}{x}$ : Le nombre de façons distinctes de choisir $x$ succès parmi $n$ essais, $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$.
Moyenne $np$ : Le nombre attendu de succès, $\mu = np$.
Variance $np(1-p)$ : La variance du nombre de succès, $\sigma^{2}=np(1-p)$ ; l'écart-type est $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.

Interprétation de Votre Résultat

Les trois quantités répondent à trois questions différentes sur la même expérience :

$f(x)$ — exactement $x$ : la probabilité d'obtenir précisément $x$ succès et aucun autre nombre. Utilisez ceci pour les questions « exactement k ».
$P(X\le x)$ — au plus $x$ : la probabilité que le nombre de succès ne dépasse pas $x$. Utilisez ceci pour les questions « au plus k », « pas plus de k » ou « moins que k+1 ».
$Q(X\ge x)$ — au moins $x$ : la probabilité de $x$ succès ou plus. Utilisez ceci pour les questions « au moins k », « k ou plus » ou « plus que k−1 ».

Mapping d'une question réelle à une fonction. Traduisez la formulation avec soin, en surveillant la frontière :

« Au moins $k$ » $\Rightarrow Q(X\ge k)$.
« Plus que $k$ » $\Rightarrow Q(X\ge k+1) = 1 - P(X\le k)$.
« Au plus $k$ » $\Rightarrow P(X\le k)$.
« Moins que $k$ » $\Rightarrow P(X\le k-1)$.
« Entre $a$ et $b$ inclus » $\Rightarrow P(X\le b) - P(X\le a-1)$.

Le chevauchement $P$/$Q$. Parce que $P(X\le x)$ et $Q(X\ge x)$ incluent tous deux le terme $f(x)$, ils ne sont pas complémentaires au même $x$. En fait $P(X\le x) + Q(X\ge x) = 1 + f(x)$, de sorte que les deux queues cumulées se chevauchent exactement à un point de masse. Le vrai complément de $Q(X\ge x)$ est $P(X\le x-1)$, non $P(X\le x)$.

Approximation normale. Quand $np$ et $n(1-p)$ sont tous deux raisonnablement grands (une règle courante est que chacun soit $\ge 5$, et idéalement $\ge 10$), la binomiale est bien approximée par une distribution normale de moyenne $\mu = np$ et d'écart-type $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$. Appliquez une correction de continuité (par exemple, utilisez $x+0,5$ ou $x-0,5$) lors de la conversion d'un comptage discret à l'échelle normale continue. Pour grand $n$ avec petit $p$ (de sorte que $np$ reste modéré), la distribution de Poisson avec $\lambda = np$ est l'approximation la plus précise.

FAQ

Pourquoi $P(x) + Q(x)$ ne vaut-il pas 1 ? Les deux probabilités cumulées incluent le point $t = x$, si bien que $P(x) + Q(x) = 1 + f(x)$. Cette convention de recouvrement (la basse inclut $x$, la haute inclut $x$) est ici un choix délibéré.

Que se passe-t-il si $x$ est en dehors de $0..n$ ? La densité y vaut 0 ; la probabilité cumulée basse est ramenée à 0 ($x < 0$) ou à 1 ($x \ge n$), et la cumulée haute à 1 ($x \le 0$) ou à 0 ($x > n$).

Puis-je utiliser de grandes valeurs de $n$ ? Oui. Le calcul par log-gamma garantit un résultat stable pour les grandes valeurs de $n$, là où les factorielles directes provoqueraient un dépassement de capacité.