Binom dağılımı nedir?
Binom dağılımı, sabit sayıda bağımsız denemede (\(n\)) elde edilen başarı sayısını (\(x\)) modeller. Burada her denemenin başarı olasılığı aynıdır (\(p\)) ve her bir deneme bir Bernoulli denemesidir. "20 yazı tura atışında tam olarak 5 yazı gelme ihtimali nedir?" gibi sorulara yanıt verir. Bu tamamen matematiksel bir konudur; her yerde aynı şekilde geçerlidir, herhangi bir birime ya da ülkeye bağlı değildir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Önce hangi fonksiyonu hesaplayacağınızı seçin: olasılık kütle fonksiyonu \(f(x)\) (tam olarak \(x\) başarı olma ihtimali), alt kümülatif \(P(X \le x)\) ya da üst kümülatif \(Q(X \ge x)\). Ardından deneme sayısını (\(n\)), deneme başına başarı olasılığını (\(p\), 0 ile 1 arasında) girin; sonra ilk başarı sayısını (başlangıç \(x\) değeri), satırlar arasındaki adım miktarını ve kaç satır üretileceğini belirleyin. Araç, seçtiğiniz fonksiyonu tablolaştırır ve çubukların birbirine değdiği kesikli (ayrık) bir histogram olarak grafiğe döker.
Formülün açıklaması
Olasılık kütle fonksiyonu şu şekildedir:
$$f(x) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{\,n-x}$$Burada \(\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\) binom katsayısıdır. Alt kümülatif \(P(x)\), \(t = 0..x\) aralığında \(f\) değerlerinin toplamıdır; üst kümülatif \(Q(x)\) ise \(t = x..n\) aralığındaki toplamdır:
$$P(X \le x) = \sum_{t=0}^{x} \binom{n}{t}\, p^{\,t}\,(1-p)^{\,n-t}$$$$P(X \ge x) = \sum_{t=x}^{n} \binom{n}{t}\, p^{\,t}\,(1-p)^{\,n-t}$$Büyük \(n\) değerlerinde faktöriyel taşmasını önlemek için bu araç katsayıyı log-gamma fonksiyonuyla hesaplar:
$$\ln f = \ln\Gamma(n+1) - \ln\Gamma(x+1) - \ln\Gamma(n-x+1) + x\cdot\ln p + (n-x)\cdot\ln(1-p)$$Dağılımın ortalaması \(np\), varyansı ise \(np(1-p)\)'dir.
Örnek üzerinden çözüm
\(n = 20\) ve \(p = 0{,}25\) için PMF değerlerini \(x = 0..12\) aralığında hesapladığımızda: \(f(0) \approx 0{,}003171\), \(f(1) \approx 0{,}021142\), \(f(2) \approx 0{,}066948\), \(f(3) \approx 0{,}133897\), \(f(4) \approx 0{,}189691\) ve \(f(5) \approx 0{,}202337\). En yüksek değer \(x = 5\)'te görülür; bu da tam olarak beklenen ortalamaya, yani \(np = 20 \times 0{,}25 = 5\)'e eşittir.
Sık sorulan sorular
\(P(x) + Q(x)\) neden 1'e eşit değil? Her iki kümülatif değer de \(t = x\) noktasını içerdiğinden \(P(x) + Q(x) = 1 + f(x)\) olur. Bu örtüşme yaklaşımı (alt değer \(x\)'i içerir, üst değer de \(x\)'i içerir) burada bilinçli olarak benimsenmiştir.
\(x\) değeri \(0..n\) aralığının dışındaysa ne olur? Bu durumda PMF 0'dır; alt kümülatif 0'a (\(x < 0\)) ya da 1'e (\(x \ge n\)) sabitlenir, üst kümülatif ise 1'e (\(x \le 0\)) ya da 0'a (\(x > n\)) sabitlenir.
Büyük \(n\) değerleri kullanabilir miyim? Evet. Log-gamma hesaplaması, doğrudan faktöriyellerin taşacağı büyük \(n\) değerlerinde bile sonucu kararlı tutar.
Tanımlar ve Sözlük
- Deneme: Sabit ve tanımlanmış bir sonuç kümesi ile rastgele bir deneyin tek bir tekrarı.
- Bernoulli denemesi: Tam olarak iki karşılıklı olarak dışlayan sonuca sahip bir deneme; geleneksel olarak "başarı" ve "başarısızlık" olarak etiketlenir.
- Başarı olasılığı \(p\): Tek bir denemin başarı ile sonuçlanma olasılığı; \(0 \le p \le 1\). Tüm denemeler arasında sabit olduğu varsayılır.
- Deneme sayısı \(n\): Deneydeki bağımsız Bernoulli denemelerinin sabit sayısı; negatif olmayan bir tam sayı.
- Başarılar \(x\): \(n\) deneme arasında gözlenen başarı sayısı; \(x\) bir tam sayıdır ve \(0 \le x \le n\) koşulunu sağlar.
- PMF (Olasılık Kütle Fonksiyonu) \(f(x)\): Olasılık kütle fonksiyonu; tam olarak \(x\) başarı olma olasılığını verir: \(f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\).
- Alt kümülatif \(P(X\le x)\): Kümülatif dağılım fonksiyonu; en fazla \(x\) başarı olasılığı: \(P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)\).
- Üst kümülatif \(Q(X\ge x)\): En az \(x\) başarı olasılığı: \(Q(X\ge x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X\le x-1)\).
- Binom katsayısı \(\binom{n}{x}\): \(n\) deneme arasından \(x\) başarıyı seçmenin farklı yollarının sayısı; \(\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}\).
- Ortalama \(np\): Beklenen başarı sayısı; \(\mu = np\).
- Varyans \(np(1-p)\): Başarı sayısının varyansı; \(\sigma^{2}=np(1-p)\); standart sapma \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\).
Sonucunuzu Yorumlama
Üç nicelik, aynı deney hakkında üç farklı soruya yanıt verir:
- \(f(x)\) — tam olarak \(x\): tam olarak \(x\) başarı ve başka bir sayıda başarı elde etme olasılığı. "Tam olarak k" sorularında bunu kullanın.
- \(P(X\le x)\) — en fazla \(x\): başarı sayısının \(x\)'i aşmama olasılığı. "En fazla k," "k'den fazla değil" veya "k+1'den az" sorularında bunu kullanın.
- \(Q(X\ge x)\) — en az \(x\): \(x\) veya daha fazla başarı olasılığı. "En az k," "k veya daha fazla" veya "k−1'den fazla" sorularında bunu kullanın.
Gerçek bir soruyu bir fonksiyonla eşleştirme. İfadeyi dikkatli çevirin, sınıra dikkat edin:
- "En az \(k\)" \(\Rightarrow Q(X\ge k)\).
- "\(k\)'den fazla" \(\Rightarrow Q(X\ge k+1) = 1 - P(X\le k)\).
- "En fazla \(k\)" \(\Rightarrow P(X\le k)\).
- "\(k\)'den az" \(\Rightarrow P(X\le k-1)\).
- "\(a\) ile \(b\) arasında (dahil)" \(\Rightarrow P(X\le b) - P(X\le a-1)\).
\(P\)/\(Q\) örtüşmesi. Hem \(P(X\le x)\) hem de \(Q(X\ge x)\) \(f(x)\) terimini içerdiğinden, aynı \(x\)'te tamamlayıcı değillerdir. Aslında \(P(X\le x) + Q(X\ge x) = 1 + f(x)\) olur, bu nedenle iki kümülatif kuyruk tam olarak bir nokta kütlesinde örtüşür. \(Q(X\ge x)\)'in gerçek tamamlayıcısı \(P(X\le x)\) değil, \(P(X\le x-1)\)'dir.
Normal yaklaşım. Hem \(np\) hem de \(n(1-p)\) makul ölçüde büyük olduğunda (yaygın bir kural her biri \(\ge 5\)'ten büyük olmalıdır ve ideal olarak \(\ge 10\)), binom dağılımı ortalama \(\mu = np\) ve standart sapma \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\) ile normal dağılımla iyi bir şekilde yaklaştırılır. Kesikli bir sayıdan sürekli normal ölçeğe dönüştürürken süreklilik düzeltmesi uygulayın (örneğin, \(x+0.5\) veya \(x-0.5\) kullanın). Büyük \(n\) ve küçük \(p\) durumunda (\(np\) makul seviyelerde kalacak şekilde), \(\lambda = np\) olan Poisson dağılımı daha kesin bir yaklaşımdır.
