द्विपद बंटन कैलकुलेटर (PMF और संचयी प्रायिकता)

x	f(x)
0	0.003171212
1	0.021141413
2	0.066947808
3	0.133895615
4	0.189685455
5	0.202331152
6	0.168609293
7	0.112406195
8	0.060886689
9	0.027060751
10	0.009922275
11	0.00300675
12	0.000751688

द्विपद बंटन क्या है?

द्विपद बंटन (Binomial Distribution) यह बताता है कि निश्चित संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों $n$ के दौरान कितनी सफलताएँ $x$ मिलने की संभावना कितनी है, जहाँ हर परीक्षण में सफलता की प्रायिकता समान रूप से $p$ रहती है (यानी बर्नूली परीक्षण)। यह उन सवालों का जवाब देता है जैसे "20 बार सिक्का उछालने पर ठीक 5 बार चित आने की संभावना कितनी है?" यह विशुद्ध रूप से गणित है, जो हर जगह एक जैसा लागू होता है — इसमें न कोई इकाई होती है और न ही किसी देश के नियमों का असर।

Bar chart of a binomial probability mass function — The binomial PMF gives the probability of x successes in n independent trials.

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सबसे पहले चुनें कि आप कौन-सा फलन निकालना चाहते हैं: प्रायिकता द्रव्यमान $f(x)$ (ठीक $x$ सफलताओं की संभावना), निम्न संचयी $P(X \le x)$, या उच्च संचयी $Q(X \ge x)$। इसके बाद परीक्षणों की संख्या $n$ दर्ज करें, प्रति परीक्षण सफलता की प्रायिकता $p$ (0 और 1 के बीच) भरें, फिर पहली सफलता-संख्या (आरंभिक $x$), प्रत्येक पंक्ति के बीच का अंतराल (step), और कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं — यह सब तय करें। उपकरण चुने गए फलन की तालिका बनाता है और उसे एक असतत हिस्टोग्राम के रूप में ग्राफ़ में दिखाता है, जिसमें सलाखें (bars) एक-दूसरे से सटी रहती हैं।

सूत्र की व्याख्या

प्रायिकता द्रव्यमान फलन है

$$f(x,n,p) = \binom{n}{x}\, p^{\,x}\,(1-p)^{\,n-x}$$

जहाँ $\binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$ द्विपद गुणांक है। निम्न संचयी $P(x)$ में $f$ का योग $t = 0..x$ तक किया जाता है, और उच्च संचयी $Q(x)$ में $f$ का योग $t = x..n$ तक होता है। बड़े $n$ के लिए फैक्टोरियल के अतिप्रवाह (overflow) से बचने के लिए यह कैलकुलेटर गुणांक की गणना लॉग-गामा फलन से करता है:

$$\ln f = \ln\Gamma(n+1) - \ln\Gamma(x+1) - \ln\Gamma(n-x+1) + x\cdot\ln p + (n-x)\cdot\ln(1-p)$$

इस बंटन का माध्य $np$ होता है और प्रसरण $np(1-p)$।

Three bar charts comparing PMF, lower cumulative, and upper cumulative — PMF f(x), lower cumulative P(X≤x), and upper cumulative Q(X≥x) compared.

Diagram showing the parts of the binomial formula — The formula multiplies the number of arrangements by the probability of each outcome.

हल किया हुआ उदाहरण

मान लें $n = 20$, $p = 0.25$ और हम PMF को $x = 0..12$ पर निकालते हैं: $f(0) \approx 0.003171$, $f(1) \approx 0.021142$, $f(2) \approx 0.066948$, $f(3) \approx 0.133897$, $f(4) \approx 0.189691$, और $f(5) \approx 0.202337$। सबसे ऊँचा मान $x = 5$ पर आता है, जो माध्य

$$np = 20 \times 0.25 = 5$$

के बराबर है — ठीक वैसा ही जैसा अपेक्षित था।

परिभाषाएँ और शब्दकोश

परीक्षण: एक यादृच्छिक प्रयोग की एकल पुनरावृत्ति जिसमें परिणामों का एक निश्चित, परिभाषित समुच्चय है।
बर्नौली परीक्षण: एक परीक्षण जिसके ठीक दो परस्पर अनन्य परिणाम हैं, जिन्हें परंपरागत रूप से "सफलता" और "विफलता" कहा जाता है।
सफलता की संभावना $p$: वह संभावना कि एक एकल परीक्षण से सफलता मिले, जहाँ $0 \le p \le 1$। यह सभी परीक्षणों में स्थिर मानी जाती है।
परीक्षणों की संख्या $n$: प्रयोग में स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों की निर्धारित गिनती, एक अऋणात्मक पूर्णांक।
सफलताएँ $x$: $n$ परीक्षणों में देखी गई सफलताओं की संख्या; $x$ एक पूर्णांक है जहाँ $0 \le x \le n$।
PMF $f(x)$: प्रायिकता द्रव्यमान फलन, जो ठीक $x$ सफलताओं की संभावना देता है: $f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$।
निम्न संचयी $P(X\le x)$: संचयी वितरण फलन, अधिकतम $x$ सफलताओं की संभावना: $P(X\le x)=\sum_{k=0}^{x} f(k)$।
उच्च संचयी $Q(X\ge x)$: कम से कम $x$ सफलताओं की संभावना: $Q(X\ge x)=\sum_{k=x}^{n} f(k)=1-P(X\le x-1)$।
द्विपद गुणांक $\binom{n}{x}$: $n$ परीक्षणों से $x$ सफलताओं को चुनने के विशिष्ट तरीकों की संख्या, $\binom{n}{x}=\dfrac{n!}{x!\,(n-x)!}$।
माध्य $np$: सफलताओं की प्रत्याशित संख्या, $\mu = np$।
प्रसरण $np(1-p)$: सफलताओं की गिनती का प्रसरण, $\sigma^{2}=np(1-p)$; मानक विचलन है $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$।

अपने परिणाम की व्याख्या

ये तीनों राशियाँ एक ही प्रयोग के बारे में तीन अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देती हैं:

$f(x)$ — ठीक $x$: ठीक $x$ सफलताएँ प्राप्त करने और कोई अन्य संख्या न प्राप्त करने की संभावना। इसका उपयोग "ठीक k" प्रश्नों के लिए करें।
$P(X\le x)$ — अधिकतम $x$: वह संभावना कि सफलताओं की संख्या $x$ से अधिक न हो। इसका उपयोग "अधिकतम k," "k से अधिक नहीं," या "k+1 से कम" प्रश्नों के लिए करें।
$Q(X\ge x)$ — कम से कम $x$: $x$ या अधिक सफलताओं की संभावना। इसका उपयोग "कम से कम k," "k या अधिक," या "k−1 से अधिक" प्रश्नों के लिए करें।

एक वास्तविक प्रश्न को एक फलन में मानचित्रित करना। शब्दावली का सावधानीपूर्वक अनुवाद करें, सीमा पर ध्यान दें:

"कम से कम $k$" $\Rightarrow Q(X\ge k)$।
"k से अधिक" $\Rightarrow Q(X\ge k+1) = 1 - P(X\le k)$।
"अधिकतम $k$" $\Rightarrow P(X\le k)$।
"k से कम" $\Rightarrow P(X\le k-1)$।
"$a$ और $b$ के बीच (समावेशी)" $\Rightarrow P(X\le b) - P(X\le a-1)$।

$P$/$Q$ अतिव्यापन। क्योंकि $P(X\le x)$ और $Q(X\ge x)$ दोनों में शब्द $f(x)$ शामिल है, वे एक ही $x$ पर पूरक नहीं हैं। वास्तव में $P(X\le x) + Q(X\ge x) = 1 + f(x)$, इसलिए दोनों संचयी पूँछें ठीक एक बिंदु द्रव्यमान द्वारा अतिव्यापी हैं। $Q(X\ge x)$ का सच्चा पूरक $P(X\le x-1)$ है, $P(X\le x)$ नहीं।

सामान्य सन्निकटन। जब $np$ और $n(1-p)$ दोनों उचित रूप से बड़े हों (एक सामान्य अंगुष्ठ का नियम यह है कि प्रत्येक $\ge 5$ हो, और आदर्श रूप से $\ge 10$ हो), तो द्विपद को माध्य $\mu = np$ और मानक विचलन $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ वाले सामान्य वितरण द्वारा अच्छी तरह से सन्निकटित किया जाता है। एक सतत सामान्य पैमाने पर असतत गिनती को परिवर्तित करते समय सातत्य सुधार (उदाहरण के लिए, $x+0.5$ या $x-0.5$ का उपयोग करें) लागू करें। बड़े $n$ के लिए छोटे $p$ के साथ (ताकि $np$ मध्यम रहे), पॉसों वितरण जहाँ $\lambda = np$ अधिक सटीक सन्निकटन है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

$P(x) + Q(x)$ का योग 1 क्यों नहीं होता? दोनों संचयी मानों में बिंदु $t = x$ शामिल होता है, इसलिए $P(x) + Q(x) = 1 + f(x)$। यह अध्यारोपण (overlap) का तरीका — जहाँ निम्न संचयी में $x$ शामिल है और उच्च संचयी में भी $x$ शामिल है — यहाँ जानबूझकर अपनाया गया है।

अगर $x$ का मान $0..n$ की सीमा से बाहर हो तो? ऐसे में PMF का मान 0 होता है; निम्न संचयी 0 (जब $x < 0$) या 1 (जब $x \ge n$) पर सीमित हो जाता है, और उच्च संचयी 1 (जब $x \le 0$) या 0 (जब $x > n$) पर सीमित हो जाता है।

क्या मैं बड़े $n$ का उपयोग कर सकता हूँ? हाँ। लॉग-गामा गणना बड़े $n$ के लिए भी परिणाम को स्थिर रखती है, जबकि सीधे फैक्टोरियल इस्तेमाल करने पर मान अतिप्रवाह (overflow) कर जाते।