लेवी वितरण क्या है?
लेवी वितरण एक सतत (continuous), भारी-पूंछ वाला (heavy-tailed) प्रायिकता वितरण है, जो किसी स्थान प␊रामीटर \(\text{mu}\) से बड़े मानों के लिए परिभाषित होता है। इसके दो पैरामीटर होते हैं: स्थान पैरामीटर \(\text{mu}\), जो तय करता है कि वितरण की सपोर्ट कहाँ से शुरू होती है, और स्केल पैरामीटर \(\text{c}\) (जो धनात्मक होना चाहिए), जो वितरण को फैलाता है। यह एक स्थिर (stable) वितरण है और भौतिकी (ब्राउनियन गति के पहले-पारगमन समय यानी first-passage times), वित्त, तथा असामान्य विसरण (anomalous diffusion) के अध्ययन में दिखाई देता है। खास बात यह है कि इसका माध्य (mean) और प्रसरण (variance) दोनों ही अनंत होते हैं — इसीलिए यह टूल सारांश आघूर्णों (summary moments) के बजाय घनत्व और संचयी प्रायिकताएँ बताता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि कौन-सा वक्र दिखाना है: प्रायिकता घनत्व फलन \(f\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P\), या उच्च संचयी प्रायिकता \(Q\)। फिर स्थान पैरामीटर \(\text{mu}\) और एक धनात्मक स्केल पैरामीटर \(\text{c}\) दर्ज करें। इसके बाद \(\text{x}\) की रेंज तय करें — एक प्रारंभिक मान, एक वृद्धि (step), और बिंदुओं की संख्या देकर। कैलकुलेटर हर बिंदु पर \(\text{x}\) का मूल्यांकन करता है, पहले \(\text{x}\) पर \(f\), \(P\) और \(Q\) छापता है, और चुने गए फलन को पूरी रेंज पर एक वक्र के रूप में प्लॉट करता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लें \(s = \text{x} - \text{mu}\)। जब \(s > 0\) हो, तो घनत्व है $$f(\text{x}) = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\pi}} \cdot \frac{e^{-\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}}}{\left(\text{x} - \text{mu}\right)^{3/2}}$$ निम्न संचयी वितरण है $$\begin{gathered} P(\text{x}) = \operatorname{erfc}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ जहाँ \(\operatorname{erfc}\) पूरक त्रुटि फलन (complementary error function) है, और उच्च (उत्तरजीविता) फलन है $$\begin{gathered} Q(\text{x}) = 1 - P(\text{x}) = \operatorname{erf}\!\left(z\right) \\[1.5em] \text{where}\quad z = \sqrt{\frac{\text{c}}{2\left(\text{x} - \text{mu}\right)}} \end{gathered}$$ जब \(\text{x}\), \(\text{mu}\) के बराबर या उससे कम हो, तो वहाँ कोई प्रायिकता द्रव्यमान नहीं होता, इसलिए \(f = 0\), \(P = 0\) और \(Q = 1\) होता है। त्रुटि फलन का मूल्यांकन Abramowitz & Stegun 7.1.26 परिमेय सन्निकटन (rational approximation) से किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(\text{mu} = 0\), \(\text{c} = 1\) और \(\text{x} = 1\): तब \(s = 1\), इसलिए $$f = \sqrt{1/(2\pi)} \cdot \exp(-0.5) = 0.398942 \cdot 0.606531 \approx 0.24197$$ तर्क \(z = \sqrt{1/2} = 0.70711\), \(\operatorname{erf}(z) \approx 0.68269\), इसलिए \(P = \operatorname{erfc}(z) \approx 0.31731\) और \(Q \approx 0.68269\) — ये मानक लेवी(0,1) के मान हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\text{c}\) का 0 से बड़ा होना क्यों ज़रूरी है? स्केल पैरामीटर वितरण के फैलाव को तय करता है; अगर \(\text{c}\) धनात्मक नहीं है तो घनत्व अपरिभाषित हो जाता है, इसीलिए कैलकुलेटर के लिए \(\text{c} > 0\) आवश्यक है।
\(\text{mu}\) से कम \(\text{x}\) पर क्या होता है? वहाँ वितरण की कोई सपोर्ट नहीं होती, इसलिए \(f = 0\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P = 0\), और उच्च संचयी प्रायिकता \(Q = 1\) होती है।
माध्य और प्रसरण क्यों नहीं हैं? लेवी वितरण इतना भारी-पूंछ वाला होता है कि इसका माध्य और प्रसरण अनंत तक चले जाते हैं, इसलिए कोई परिमित सारांश आघूर्ण नहीं बताए जाते।
