लाप्लास वितरण क्या है?
लाप्लास वितरण, जिसे डबल-एक्सपोनेंशियल वितरण भी कहते हैं, एक सतत प्रायिकता वितरण है जो किसी केंद्रीय शिखर पर पीठ-से-पीठ जुड़े दो एक्सपोनेंशियल वक्रों जैसा दिखता है। इसे दो संख्याएं नियंत्रित करती हैं: एक स्थान प्राचल a (जहाँ माध्य, माध्यिका और बहुलक तीनों एक ही जगह होते हैं) और एक स्केल प्राचल b (जो शून्य से बड़ा होना चाहिए और यह तय करता है कि पुच्छ कितनी तेज़ी से घटते हैं)। यह सिग्नल प्रोसेसिंग, रोबस्ट सांख्यिकी, बायेसियन LASSO प्रायर और उन मॉडलों में दिखता है जहाँ डेटा के पुच्छ सामान्य (नॉर्मल) वितरण से भारी होते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
फलन चयन रेडियो बटन से चुनें कि आपको कौन-सी राशि चाहिए: प्रायिकता घनत्व \(f\), निचली संचयी प्रायिकता \(P\) (यानी CDF), या ऊपरी संचयी प्रायिकता \(Q\)। स्थान प्राचल \(a\) और एक धनात्मक स्केल प्राचल \(b\) दर्ज करें। इसके बाद तीन फ़ील्ड से \(x\) अनुक्रम परिभाषित करें: x का आरंभिक मान, x increment और repeat count। बिंदु इस सूत्र से बनते हैं: $$x_k = x_{\text{Initial}} + k\cdot x_{\text{Step}}$$ जहाँ \(k = 0\) से \(\text{count}-1\) तक। टूल हर बिंदु पर चुने गए फलन का मान निकालता है, एक रेखा-ग्राफ़ बनाता है और हर \((x, \text{मान})\) जोड़ी को एक तालिका में सूचीबद्ध करता है। ऊपर दिखने वाला मुख्य मान पहले \(x\) पर फलन का मान होता है।
सूत्र की व्याख्या
घनत्व है $$f(x,a,b) = \frac{1}{2\,b}\, e^{-\frac{\left| x - a \right|}{b}}$$ निरपेक्ष मान (absolute value) के कारण वक्र \(a\) के सापेक्ष सममित होता है। इसका समाकलन करने पर CDF मिलता है: \(x < a\) के लिए \(P = 0.5\cdot e^{\frac{x-a}{b}}\); और \(x \ge a\) के लिए \(P = 1 - 0.5\cdot e^{-\frac{x-a}{b}}\)। ऊपरी पुच्छ बस \(Q = 1 - P\) होती है। शिखर \(x = a\) पर आपको \(f = \frac{1}{2b}\) और \(P = Q = 0.5\) मिलता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें \(a = 0\), \(b = 0.7\) और इसे \(x = 1\) पर निकालें: $$f = \frac{1}{1.4}\cdot e^{-\frac{1}{0.7}} = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118$$ चूँकि \(x \ge a\) है, इसलिए \(P = 1 - 0.5\cdot e^{-1.42857} = 0.88017\) और \(Q = 0.11983\)। ध्यान दें कि \(P + Q = 1\) बिलकुल सटीक आता है — यह जाँच के लिए एक आसान तरीका है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(b\) धनात्मक क्यों होना चाहिए? घनत्व में \(2b\) से भाग दिया जाता है और घातांक में भी \(b\) का उपयोग होता है; अगर \(b \le 0\) हो तो फलन अपरिभाषित हो जाता है, इसलिए कैलकुलेटर इसे स्वीकार नहीं करता।
\(Q\) क्या दर्शाता है? \(Q(x)\) वह प्रायिकता है कि कोई यादृच्छिक मान \(x\) से अधिक होगा, यानी दाएँ पुच्छ या उत्तरजीविता (survival) की प्रायिकता, जो \(1 - P(x)\) के बराबर होती है।
मैं कितने बिंदु प्लॉट कर सकता हूँ? 1000 तक कोई भी धनात्मक पूर्णांक। डिफ़ॉल्ट मान (शुरुआत \(-5\), स्टेप \(0.1\), 101 बिंदु) \(x\) को \(-5\) से \(+5\) तक फैलाते हैं।
