कोशी वितरण क्या है?
कोशी वितरण (जिसे लोरेंत्ज़ या कोशी-लोरेंत्ज़ वितरण भी कहा जाता है) एक सतत प्रायिकता वितरण है, जो दो प्राचलों से परिभाषित होता है: स्थान प्राचल \(x_0\), जो वक्र का शिखर और माध्यिका होता है, और एक धनात्मक स्केल प्राचल गामा, जो अधिकतम मान के आधे पर आधी-चौड़ाई (half-width at half-maximum) को दर्शाता है। यह अपनी भारी पुच्छों (heavy tails) के लिए प्रसिद्ध है: सामान्य वितरण के विपरीत, कोशी वितरण का कोई परिभाषित माध्य या प्रसरण नहीं होता। मानक (कैनॉनिकल) कोशी वितरण में \(x_0 = 0\) और गामा \(= 1\) होता है, और यह एक स्वातंत्र्य कोटि (degree of freedom) वाले स्टूडेंट के t-वितरण के समान होता है। यह कैलकुलेटर शुद्ध गणित पर आधारित है और हर जगह एक जैसा ही लागू होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वह प्रतिशतक बिंदु \(x\) दर्ज करें जिस पर आप वितरण का मूल्यांकन करना चाहते हैं, स्थान प्राचल \(x_0\), और स्केल प्राचल गामा (जो शून्य से बड़ा होना चाहिए)। कैलकुलेटर प्रायिकता घनत्व \(f(x)\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P(X \le x)\), और उच्च संचयी प्रायिकता \(P(X > x)\) देता है। मानक कोशी वितरण के लिए \(x_0 = 0\) और गामा \(= 1\) रहने दें।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले मानकीकृत मान \(z = (x - x_0) / \gamma\) परिभाषित करें। प्रायिकता घनत्व $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot \gamma \cdot (1 + z^2)}$$ है, जो $$\frac{\gamma}{\pi\left[\left(x - x_0\right)^2 + \gamma^2\right]}$$ के समतुल्य है। संचयी वितरण फलन $$F(x) = 0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan(z)$$ है, जो निम्न संचयी प्रायिकता देता है, और उच्च संचयी प्रायिकता बस \(1 - F(x)\) होती है। चूँकि arctan के मान \((-\pi/2, \pi/2)\) के बीच होते हैं, संचयी प्रायिकता हमेशा सख्ती से 0 और 1 के बीच रहती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(x = 1\), \(x_0 = 0\), गामा \(= 1\)। तब \(z = 1\)। घनत्व $$f(x) = \frac{1}{\pi \cdot 2} = 0.159155$$ है। \(\arctan(1) = 0.785398\), इसलिए निम्न संचयी प्रायिकता $$0.5 + \frac{1}{\pi} \cdot 0.785398 = 0.75$$ है, और उच्च संचयी प्रायिकता \(0.25\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
माध्य और प्रसरण क्यों नहीं दिखाए जाते? कोशी वितरण की पुच्छें इतनी भारी होती हैं कि इसका माध्य और प्रसरण गणितीय रूप से अपरिभाषित होते हैं, इसलिए उन्हें दिखाना निरर्थक होगा।
शिखर कैसा दिखता है? \(x = x_0\) पर घनत्व अपने अधिकतम मान \(\frac{1}{\pi \cdot \gamma}\) पर होता है, और दोनों संचयी प्रायिकताएँ \(0.5\) के बराबर होती हैं।
यदि गामा शून्य या ऋणात्मक हो तो क्या होगा? स्केल प्राचल का सख्ती से धनात्मक होना आवश्यक है; ऋणेतर (non-positive) गामा वितरण को अपरिभाषित बना देता है और इसे अस्वीकार कर दिया जाता है।
