यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी कॉशी वितरण (जिसे लॉरेंत्ज़ वितरण भी कहते हैं) का पर्सेंटाइल निकालता है, जिसे क्वांटाइल या पर्सेंट पॉइंट के नाम से भी जाना जाता है। आपको एक संचयी प्रायिकता और वितरण के दो पैरामीटर देने होते हैं — लोकेशन x0 (माध्यिका और शिखर की स्थिति) और स्केल γ (गामा, यानी अधिकतम के आधे पर अर्ध-चौड़ाई) — और बदले में यह वह मान x लौटाता है जहाँ वह प्रायिकता प्राप्त होती है। यह शुद्ध गणित है और दुनिया भर में एक समान रूप से लागू होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सबसे पहले संचयी मोड चुनें। यदि आपकी प्रायिकता P बाएँ-पुच्छ (left-tail) की प्रायिकता है, यानी \(P = \text{Prob}(X \le x)\), तो Lower चुनें। यदि आपकी प्रायिकता Q दाएँ-पुच्छ (right-tail) की प्रायिकता है, यानी \(Q = \text{Prob}(X \ge x)\), तो Upper चुनें। इसके बाद प्रायिकता को 0 और 1 के बीच एक भिन्न के रूप में दर्ज करें (उदाहरण के लिए 95वें पर्सेंटाइल के लिए 0.95), फिर लोकेशन पैरामीटर x0, और स्केल पैरामीटर γ (जो धनात्मक होना ज़रूरी है) भरें। कैलकुलेटर संबंधित x लौटा देगा।
फॉर्मूला समझें
कॉशी वितरण का संचयी वितरण फलन (CDF) इस प्रकार है: $$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\frac{x - \text{x}_0}{\gamma}\right)$$ इसे उलटने पर क्वांटाइल फलन मिलता है: $$x = \text{x}_0 + \gamma \cdot \tan\!\left(\pi\left(\text{P} - \tfrac{1}{2}\right)\right)$$ जहाँ P निचली (lower) संचयी प्रायिकता है। यदि आपने ऊपरी प्रायिकता Q दर्ज की है, तो टूल पहले इसे \(P = 1 - Q\) से बदल देता है। \(P = 0.5\) पर परिणाम ठीक x0 होता है; और जैसे-जैसे P, 0 या 1 की ओर बढ़ता है, परिणाम ऋण या धन अनंत की ओर चला जाता है — यही कॉशी वितरण की प्रसिद्ध भारी पुच्छों (heavy tails) को दर्शाता है (इसका न तो परिमित माध्य होता है और न ही प्रसरण)।
हल किया हुआ उदाहरण
x0 = 0 और γ = 1 के साथ निचले 95वें पर्सेंटाइल के लिए: \(P = 0.95\), इसलिए $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0.45) = \tan(1.41372\ \text{रेडियन}) \approx 6.31375$$ जाँच करें: \(F(6.31375) = 0.5 + \frac{1}{\pi}\cdot\arctan(6.31375) = 0.5 + 0.45 = 0.95\)। अब x0 = 2, γ = 3 और P = 0.75 के साथ: $$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0.25) = 2 + 3\cdot 1 = 5.0$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
Lower और Upper मोड में क्या अंतर है? ये दोनों एक-दूसरे के पूरक हैं: 0.05 की ऊपरी प्रायिकता वही x देती है जो 0.95 की निचली प्रायिकता देती है।
प्रायिकता 0 और 1 के बीच ही क्यों होनी चाहिए? ठीक 0 या 1 पर क्वांटाइल धन या ऋण अनंत हो जाता है, जिसका कोई परिमित संख्यात्मक मान नहीं होता।
क्या स्केल ऋणात्मक हो सकता है? नहीं। स्केल γ का 0 से बड़ा होना ज़रूरी है; यह एक अर्ध-चौड़ाई को दर्शाता है और ऋणात्मक मान अपरिभाषित है।
