Что делает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет перцентиль (его также называют квантилем или точкой процентного распределения) распределения Коши, известного также как распределение Лоренца. По заданной кумулятивной вероятности и двум параметрам распределения — сдвигу x0 (медиана и положение пика) и масштабу γ (гамма, полуширина на половине высоты) — он возвращает значение x, при котором достигается эта вероятность. Это чистая математика, и она работает совершенно одинаково в любой точке мира.
Как пользоваться
Сначала выберите режим кумулятивной вероятности. Вариант Нижняя подходит, если ваша вероятность P относится к левому хвосту: \(P = \operatorname{Prob}(X \le x)\). Вариант Верхняя используйте, когда вероятность Q относится к правому хвосту: \(Q = \operatorname{Prob}(X \ge x)\). Затем введите вероятность в виде дроби строго от 0 до 1 (например, 0,95 для 95-го перцентиля), параметр сдвига x0 и параметр масштаба \(\gamma\) (он должен быть положительным). Калькулятор вернёт соответствующее значение x.
Разбор формулы
Функция распределения Коши имеет вид \(F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\tfrac{x - x_0}{\gamma}\right)\). Её обращение даёт квантильную функцию $$x = x_0 + \gamma \cdot \tan\!\left(\pi\left(P - \tfrac{1}{2}\right)\right)$$ где P — это нижняя кумулятивная вероятность. Если вы ввели верхнюю вероятность Q, инструмент сначала пересчитает её по формуле \(P = 1 - Q\). При \(P = 0{,}5\) результат равен в точности x0; по мере приближения P к 0 или 1 результат уходит к минус или плюс бесконечности — это отражает знаменитые «тяжёлые хвосты» распределения Коши (у него нет конечного среднего и дисперсии).
Пример расчёта
Найдём нижний 95-й перцентиль при \(x_0 = 0\) и \(\gamma = 1\): \(P = 0{,}95\), поэтому $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi \cdot 0{,}45) = \tan(1{,}41372\ \text{рад}) \approx 6{,}31375$$ Проверка: \(F(6{,}31375) = 0{,}5 + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan(6{,}31375) = 0{,}5 + 0{,}45 = 0{,}95\). При \(x_0 = 2\), \(\gamma = 3\) и \(P = 0{,}75\): $$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi \cdot 0{,}25) = 2 + 3\cdot 1 = 5{,}0$$
Частые вопросы
Чем отличаются нижний и верхний режимы? Они дополняют друг друга: верхняя вероятность 0,05 даёт то же значение x, что и нижняя вероятность 0,95.
Почему вероятность должна быть строго между 0 и 1? Ровно при 0 или 1 квантиль равен минус или плюс бесконечности, а это не имеет конечного числового значения.
Может ли масштаб быть отрицательным? Нет. Масштаб \(\gamma\) должен быть больше 0; он задаёт полуширину, а отрицательное значение не определено.
