Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, Lorentz dağılımı olarak da bilinen Cauchy dağılımının yüzdelik değerini (kantil ya da yüzde noktası olarak da adlandırılır) hesaplar. Bir kümülatif olasılık ile dağılımın iki parametresini — konum x0 (medyan ve tepe noktasının konumu) ve ölçek γ (gamma, yarı maksimumdaki yarı genişlik) — verdiğinizde, bu olasılığa ulaşılan x değerini döndürür. Bu tamamen matematiksel bir hesaplamadır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Önce kümülatif modu seçin. Olasılığınız P bir sol kuyruk olasılığıysa, yani P = Olasılık(X ≤ x) ise Alt seçeneğini işaretleyin. Olasılığınız Q bir sağ kuyruk olasılığıysa, yani Q = Olasılık(X ≥ x) ise Üst seçeneğini işaretleyin. Ardından olasılığı 0 ile 1 arasında (bu değerler dahil değil) bir kesir olarak girin (örneğin 95. yüzdelik için 0,95), konum parametresi x0'ı ve ölçek parametresi γ'yı (pozitif olmalıdır) girin. Hesaplayıcı, buna karşılık gelen x değerini verir.
Formülün açıklaması
Cauchy dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu \(F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\tfrac{x - x_0}{\gamma}\right)\) şeklindedir. Bu fonksiyonun tersi alındığında, $$x = x_0 + \gamma\cdot\tan\!\left(\pi\left(\text{P} - \tfrac{1}{2}\right)\right)$$ kantil fonksiyonu elde edilir; burada P, alt kümülatif olasılıktır. Eğer üst olasılık Q girdiyseniz, araç önce bunu \(P = 1 - Q\) ile dönüştürür. P = 0,5 olduğunda sonuç tam olarak x0'a eşittir; P değeri 0'a ya da 1'e yaklaştıkça sonuç eksi veya artı sonsuza doğru ıraksar. Bu durum, Cauchy dağılımının ünlü ağır kuyruklarını yansıtır (dağılımın sonlu bir ortalaması ya da varyansı yoktur).
Örnek hesaplama
x0 = 0 ve γ = 1 için alt 95. yüzdeliği bulalım: P = 0,95 olduğundan $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}45) = \tan(1{,}41372\ \text{rad}) \approx \mathbf{6{,}31375}.$$ Kontrol edelim: \(F(6{,}31375) = 0{,}5 + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan(6{,}31375) = 0{,}5 + 0{,}45 = 0{,}95\). x0 = 2, γ = 3 ve P = 0,75 için: $$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}25) = 2 + 3\cdot 1 = 5{,}0.$$
Sıkça sorulan sorular
Alt ve üst mod arasındaki fark nedir? İkisi birbirini tamamlar: 0,05'lik bir üst olasılık, 0,95'lik bir alt olasılıkla aynı x değerini verir.
Olasılık neden kesinlikle 0 ile 1 arasında olmalı? Tam olarak 0 ya da 1 olduğunda kantil artı veya eksi sonsuz olur ki bunun sonlu bir sayısal değeri yoktur.
Ölçek negatif olabilir mi? Hayır. Ölçek γ 0'dan büyük olmalıdır; bir yarı genişliği temsil eder ve negatif bir değer tanımsızdır.
