Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, geometrik dağılımın yüzdelik (kuantil) değerini verir: bir kümülatif olasılık ile deneme başına başarı olasılığı p verildiğinde, karşılık gelen x değerini bulur. Burada geometrik dağılım, ilk başarıdan önceki başarısızlık sayısını ifade eder ve \(x = 0, 1, 2, 3, \ldots\) değerleri üzerinde tanımlıdır. Olasılık kütle fonksiyonu $$f(x, p) = p(1 - p)^{x}$$ şeklindedir.
İki kümülatif yaklaşım
Her iki kuyruktan da hesaplama yapabilirsiniz. Alt kümülatif \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\), en fazla x başarısızlık olma olasılığıdır. Üst kümülatif \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) ise en az x başarısızlık olma olasılığıdır. Uygun modu seçin ve ilgili olasılığı girin.
Formülün açıklaması
\(q = 1 - p\) olsun. Alt CDF'i tersine çevirdiğimizde: \(1 - q^{x+1} = P\) ifadesinden $$x = \frac{\ln(1 - P)}{\ln(q)} - 1$$ elde edilir. Üst CDF'i tersine çevirdiğimizde ise: \(q^{x} = Q\) ifadesinden $$x = \frac{\ln(Q)}{\ln(q)}$$ çıkar. x bir tam sayı başarısızlık sayısı olması gerektiğinden, bildirilen yüzdelik nokta \(\lceil x \rceil\) olarak alınır ve en az 0 olacak şekilde sınırlandırılır. Hassas hesaplamalar için sürekli (gerçek değerli) çözüm de gösterilir.
Örnek çözüm
Alt mod, \(P = 0.8\), \(p = 0.4\). Bu durumda \(q = 0.6\), \(\ln(0.6) = -0.5108256\). $$x = \frac{\ln(0.2)}{\ln(0.6)} - 1 = \frac{-1.6094379}{-0.5108256} - 1 = 3.151035 - 1 = 2.151035$$ Yukarı yuvarlayınca tam sayı yüzdelik \(x = 3\) olur. Kontrol edelim: \(P(3) = 1 - 0.6^{4} = 0.8704 \ge 0.8\), buna karşılık \(P(2) = 0.784 < 0.8\) olduğundan \(x = 3\) doğrulanır.
Sıkça Sorulan Sorular
Neden ceil yüzdeliği verir? Tam sayı kuantil, kümülatif olasılığı hedefe ulaştıran en küçük x değeridir; bu yüzden sürekli çözümü yukarı yuvarlarız.
p = 0 veya p = 1 olursa ne olur? \(p = 0\) ise başarı asla gerçekleşmez, dolayısıyla kuantil tanımsız/sonsuzdur. \(p = 1\) ise tüm kütle \(x = 0\) noktasında toplandığından kuantil 0 olur.
P tam olarak 1 olabilir mi? Alt modda hiçbir sonlu x değeri \(P = 1\)'e ulaşmaz (CDF yalnızca 1'e yaklaşır), bu nedenle böyle bir girdi tanımsız olarak bildirilir.
