Công cụ này làm gì
Công cụ này trả về phân vị (lượng phân vị) của phân phối hình học: cho trước một xác suất tích lũy và xác suất thành công p mỗi lần thử, nó tìm ra giá trị x. Ở đây, phân phối hình học đếm số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên, xác định trên x = 0, 1, 2, 3, .... Hàm khối xác suất của nó là \(f(x, p) = p(1 - p)^{x}\).
Hai quy ước tích lũy
Bạn có thể tính từ một trong hai đuôi của phân phối. Tích lũy đuôi dưới \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\) là xác suất có nhiều nhất x lần thất bại. Tích lũy đuôi trên \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) là xác suất có ít nhất x lần thất bại. Hãy chọn chế độ phù hợp rồi nhập xác suất tương ứng.
Giải thích công thức
Đặt \(q = 1 - p\). Nghịch đảo CDF đuôi dưới: \(1 - q^{x+1} = P\) cho ta $$x = \left\lceil \dfrac{\ln\!\left(1 - \text{Cumulative Probability}\right)}{\ln\!\left(1 - \text{Success Probability } p\right)} - 1 \right\rceil$$ Nghịch đảo CDF đuôi trên: \(q^{x} = Q\) cho ta $$x = \left\lceil \dfrac{\ln\!\left(\text{Cumulative Probability}\right)}{\ln\!\left(1 - \text{Success Probability } p\right)} \right\rceil$$ Vì x phải là một số nguyên đếm số lần thất bại, nên giá trị phân vị được báo cáo là \(\lceil x \rceil\) (làm tròn lên), giới hạn tối thiểu bằng 0. Nghiệm liên tục (số thực) cũng được hiển thị để phục vụ các tính toán cần độ chính xác cao.
Ví dụ minh họa
Chế độ đuôi dưới, \(P = 0{,}8\), \(p = 0{,}4\). Khi đó \(q = 0{,}6\), \(\ln(0{,}6) = -0{,}5108256\). $$x = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}6)} - 1 = \frac{-1{,}6094379}{-0{,}5108256} - 1 = 3{,}151035 - 1 = 2{,}151035$$ Làm tròn lên ta được phân vị nguyên \(x = 3\). Kiểm tra: \(P(3) = 1 - 0{,}6^{4} = 0{,}8704 \ge 0{,}8\), trong khi \(P(2) = 0{,}784 < 0{,}8\), xác nhận \(x = 3\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao dùng ceil (làm tròn lên) để có phân vị? Lượng phân vị nguyên là giá trị x nhỏ nhất mà xác suất tích lũy của nó đạt tới mức mục tiêu, nên ta làm tròn lên nghiệm liên tục.
Nếu p = 0 hoặc p = 1 thì sao? Với \(p = 0\), thành công không bao giờ xảy ra, nên lượng phân vị không xác định/vô hạn. Với \(p = 1\), toàn bộ khối xác suất nằm ở \(x = 0\), nên lượng phân vị bằng 0.
P có thể bằng đúng 1 không? Không có giá trị x hữu hạn nào đạt \(P = 1\) ở chế độ đuôi dưới (CDF chỉ tiệm cận đến 1), nên đầu vào đó sẽ được báo là không xác định.
