Máy tính phân vị phân phối Weibull là gì?
Công cụ này tính phân vị (còn gọi là quantile hay hàm CDF nghịch đảo) của phân phối Weibull hai tham số. Khi cho trước tham số hình dạng \(m\), tham số tỷ lệ \(\eta\) và một xác suất tích lũy, công cụ trả về giá trị \(x\) mà tại đó phân phối đạt đến xác suất đó. Đây là một công cụ thống kê thuần túy, áp dụng được ở mọi nơi và không phụ thuộc vào quy định riêng của bất kỳ quốc gia nào.
Phân phối Weibull
Phân phối Weibull hai tham số gồm một tham số hình dạng \(m\) (đôi khi ký hiệu là \(k\) hoặc \(\beta\)) và một tham số tỷ lệ \(\eta\) (đôi khi ký hiệu là \(\alpha\) hoặc \(\lambda\)), cả hai đều dương ngặt, với miền xác định \(x \geq 0\). Hàm phân phối tích lũy dưới của nó là $$P = F(x) = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right).$$ Xác suất tích lũy trên (xác suất sống sót) là $$Q = 1 - F(x) = \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right),$$ do đó \(P + Q = 1\).
Công thức quantile
Giải phương trình \(P = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)\) theo \(x\) ta được hàm CDF nghịch đảo: $$x = \eta\left(-\ln\left(1-P\right)\right)^{\frac{1}{m}}.$$ Nếu bạn nhập xác suất đuôi trên \(Q\), máy tính sẽ chuyển đổi trước qua công thức \(P = 1 - Q\), tương đương với $$x = \eta\left(-\ln\left(Q\right)\right)^{\frac{1}{m}}.$$ Kết quả \(x\) mang đúng đơn vị mà tham số tỷ lệ biểu diễn (giờ, chu kỳ, v.v.).
Cách sử dụng
Nhập tham số hình dạng \(m\) và tham số tỷ lệ \(\eta\). Chọn xem giá trị xác suất của bạn là xác suất tích lũy dưới \(P\) hay xác suất tích lũy trên \(Q\), sau đó nhập xác suất nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1. Kết quả nhận được là phân vị \(x\).
Ví dụ minh họa
Với \(m = 2\), \(\eta = 1\), xác suất dưới \(P = 0{,}5\): $$-\ln\left(1 - 0{,}5\right) = 0{,}693147,$$ và \(0{,}693147^{\frac{1}{2}} = 0{,}832555\), nên $$x = 1 \times 0{,}832555 = 0{,}83255.$$ Đây chính là trung vị của phân phối Weibull(2, 1) (phân phối Rayleigh).
Câu hỏi thường gặp
Nếu tôi có xác suất độ tin cậy (sống sót) thì sao? Đó chính là xác suất trên \(Q\); hãy chọn "Xác suất tích lũy trên \(Q\)" và nhập trực tiếp giá trị đó.
Tại sao xác suất phải nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1? Khi \(P\) tiến tới 1, phân vị tiến tới vô cực; còn khi \(P = 0\) thì phân vị bằng 0. Các giá trị nằm tại hoặc vượt quá biên sẽ khiến hàm logarit không xác định.
Kết quả có thể âm không? Không. Miền xác định của Weibull là \(x \geq 0\), nên phân vị luôn không âm.
