Máy tính phân phối đều là gì?
Phân phối đều liên tục mô tả một biến ngẫu nhiên có khả năng nhận bất kỳ giá trị nào trong khoảng [a, b] với xác suất ngang nhau. Máy tính này tính ba hàm liên quan trên khoảng đó: hàm mật độ xác suất \(f(x)\), xác suất tích lũy dưới \(P(x)\) (hàm CDF) và xác suất tích lũy trên \(Q(x)\) (hàm sống sót). Công cụ cũng tạo ra một bảng giá trị trải dài qua một dải điểm x, giúp bạn dễ dàng vẽ đồ thị của hàm đã chọn.
Cách sử dụng
Trước tiên, hãy chọn hàm cần tính: mật độ f, tích lũy dưới P, hay tích lũy trên Q. Tiếp theo, nhập hai cận của khoảng là a và b (với điều kiện \(a < b\)). Sau đó thiết lập dải quét: giá trị khởi đầu của x, bước nhảy (lượng cộng thêm sau mỗi lần lặp) và số lần lặp (tức số điểm x cần sinh ra). Ô kết quả sẽ hiển thị giá trị của hàm tại điểm giữa của [a, b], còn bảng sẽ liệt kê từng cặp (x, giá trị) trên toàn dải quét.
Giải thích công thức
Gọi độ rộng của khoảng là \(w = b - a\). Trong miền xác định, mật độ là hằng số:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$khi \(a \le x \le b\), và bằng 0 bên ngoài. Xác suất tích lũy dưới cộng dồn diện tích kể từ a:
$$P(x) = \begin{cases} 0, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{x - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 1, & x > \text{b} \end{cases}$$được giới hạn về 0 khi x nhỏ hơn a và về 1 khi x lớn hơn b. Xác suất tích lũy trên là phần bù:
$$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{b} - x}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & x > \text{b} \end{cases}$$giới hạn về 1 khi x nhỏ hơn a và về 0 khi x lớn hơn b. Vì cả hai bao trùm toàn bộ mật độ nên ở mọi nơi ta luôn có \(P(x) + Q(x) = 1\). Máy tính cũng phòng ngừa trường hợp suy biến khi \(a = b\) (độ rộng bằng 0), vốn sẽ dẫn đến phép chia cho 0.
Ví dụ minh họa
Với \(a = 2\) và \(b = 8\), độ rộng là \(w = 6\). Tại \(x = 5\) (điểm giữa):
$$f(5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}16667, \quad P(5) = \frac{5 - 2}{6} = 0{,}5, \quad Q(5) = \frac{8 - 5}{6} = 0{,}5$$đúng với \(P + Q = 1\). Tại \(x = 0\) (nhỏ hơn a), mật độ bằng 0, \(P = 0\) và \(Q = 1\). Tại \(x = 8\) (cận trên), ta có \(P = 1\) và \(Q = 0\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao mật độ có thể lớn hơn 1? Mật độ không phải là xác suất, mà là xác suất trên một đơn vị độ dài. Với một khoảng hẹp, giá trị \(\frac{1}{b - a}\) hoàn toàn có thể vượt quá 1 trong khi tổng diện tích dưới đường cong vẫn bằng 1.
Nếu a bằng b thì sao? Khi đó độ rộng bằng 0, nên mật độ không xác định (vô hạn) và các hàm tích lũy biến thành một bước nhảy. Máy tính sẽ báo đây là dữ liệu nhập không hợp lệ.
Bước nhảy có thể âm không? Có. Bước nhảy âm sẽ tạo ra một dải quét giảm dần; các công thức vẫn giới hạn giá trị chính xác bên ngoài [a, b].
