균등분포 계산기란?
연속균등분포(continuous uniform distribution)는 구간 [a, b] 안의 어떤 값이든 똑같은 가능성으로 나타나는 확률변수를 나타냅니다. 이 계산기는 해당 구간에서 서로 연관된 세 가지 함수를 계산합니다. 바로 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(x)\)(누적분포함수 CDF), 그리고 상측 누적확률 \(Q(x)\)(생존함수)입니다. 또한 여러 \(x\) 지점에 걸친 결과표를 만들어 주므로, 선택한 함수를 그래프로 그려 볼 수도 있습니다.
사용 방법
먼저 계산할 함수를 고릅니다(확률밀도 \(f\), 하측 누적확률 \(P\), 상측 누적확률 \(Q\)). 다음으로 구간의 경계값 \(a\)와 \(b\)를 입력합니다(단, \(a < b\)). 그리고 변화 범위를 설정합니다. \(x\)의 초깃값, 매 반복마다 더해지는 증분(스텝), 그리고 반복 횟수(생성할 \(x\) 지점의 개수)를 지정하면 됩니다. 결과 칸에는 구간 [a, b]의 중앙값에서의 함수값이 표시되고, 표에는 변화 범위 전체에 걸친 (x, 값) 쌍이 모두 나열됩니다.
공식 설명
구간의 폭을 \(w = b - a\)라고 합시다. 밀도는 정의역 안에서 일정합니다. 즉, \(a \le x \le b\)일 때 다음과 같고, 그 밖에서는 0입니다.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$하측 누적확률은 a부터 면적을 누적해 나가며 계산되는데, a보다 작으면 0, b보다 크면 1로 고정됩니다.
$$P(x) = \begin{cases} 0, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{x - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 1, & x > \text{b} \end{cases}$$상측 누적확률은 그 여사건으로 a보다 작으면 1, b보다 크면 0으로 고정됩니다.
$$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{b} - x}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & x > \text{b} \end{cases}$$두 값이 전체 밀도를 나눠 가지므로 어디서나 \(P(x) + Q(x) = 1\)이 성립합니다. 또한 계산기는 \(a = b\)(폭이 0)인 비정상적인 경우를 막아 0으로 나누는 오류를 방지합니다.
계산 예시
\(a = 2\), \(b = 8\)이면 폭은 \(w = 6\)입니다. 중앙값인 \(x = 5\)에서는 다음과 같이 계산되어, \(P + Q = 1\)이 확인됩니다.
$$f(5) = \frac{1}{6} \approx 0.16667$$$$P(5) = \frac{5 - 2}{6} = 0.5$$$$Q(5) = \frac{8 - 5}{6} = 0.5$$\(x = 0\)(a보다 작음)에서는 밀도가 0, \(P = 0\), \(Q = 1\)입니다. \(x = 8\)(상단 경계)에서는 \(P = 1\), \(Q = 0\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
밀도가 1보다 큰 이유는 무엇인가요? 밀도는 확률 그 자체가 아니라 단위 길이당 확률입니다. 구간이 좁으면 \(\frac{1}{b - a}\)가 1을 넘을 수 있지만, 곡선 아래 전체 면적은 여전히 1로 유지됩니다.
a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 폭이 0이 되어 밀도는 정의되지 않으며(무한대), 누적함수는 계단 형태가 됩니다. 이 경우 계산기는 잘못된 입력으로 표시합니다.
증분을 음수로 둘 수 있나요? 네, 가능합니다. 증분이 음수이면 \(x\)가 감소하는 방향으로 변화하며, 공식은 [a, b] 밖에서도 여전히 올바르게 값을 고정합니다.
