Düzgün dağılım hesaplama aracı nedir?
Sürekli düzgün dağılım (uniform dağılım), bir [a, b] aralığındaki tüm değerleri eşit olasılıkla alabilen bir rastgele değişkeni tanımlar. Bu araç, söz konusu aralık üzerinde birbiriyle ilişkili üç fonksiyonu hesaplar: olasılık yoğunluğu \(f(x)\), alt kümülatif olasılık \(P(x)\) (CDF, birikimli dağılım fonksiyonu) ve üst kümülatif olasılık \(Q(x)\) (hayatta kalma fonksiyonu). Ayrıca seçtiğiniz fonksiyonu grafik üzerinde gösterebilmeniz için, bir dizi \(x\) noktası boyunca değer tablosu da üretir.
Nasıl kullanılır?
Önce hangi fonksiyonu hesaplamak istediğinizi seçin (yoğunluk \(f\), alt kümülatif \(P\) veya üst kümülatif \(Q\)). Aralık sınırları \(a\) ve \(b\) değerlerini girin (\(a < b\) olacak şekilde). Ardından taramayı ayarlayın: \(x\)'in başlangıç değeri, her adımda eklenecek artış (adım) ve tekrar sayısı (kaç adet \(x\) noktası üretileceği). Sonuç kutusu, [a, b] aralığının orta noktasındaki fonksiyon değerini gösterir; tablo ise tarama boyunca tüm \((x, \text{değer})\) çiftlerini sıralar.
Formülün açıklaması
Genişliği \(w = b - a\) olarak tanımlayalım. Yoğunluk, tanım aralığının içinde sabittir: \(a \le x \le b\) için \(f(x) = 1/w\), bu aralığın dışında ise \(0\)'dır.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$Alt kümülatif olasılık alanı \(a\) noktasından itibaren biriktirir: \(P(x) = (x - a)/w\); \(a\)'nın altında \(0\)'a, \(b\)'nin üstünde \(1\)'e sabitlenir.
$$P(x) = \begin{cases} 0, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{x - \text{a}}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 1, & x > \text{b} \end{cases}$$Üst kümülatif olasılık ise bunun tümleyenidir: \(Q(x) = (b - x)/w\); \(a\)'nın altında \(1\)'e, \(b\)'nin üstünde \(0\)'a sabitlenir.
$$Q(x) = \begin{cases} 1, & x < \text{a} \\[0.6em] \dfrac{\text{b} - x}{\text{b} - \text{a}}, & \text{a} \le x \le \text{b} \\[0.6em] 0, & x > \text{b} \end{cases}$$Bu ikisi yoğunluğun tamamını kapsadığından her noktada \(P(x) + Q(x) = 1\) olur. Hesaplayıcı, \(a = b\) olduğu (sıfır genişlik) ve sıfıra bölme hatasına yol açacak bozuk durumu da kontrol eder.
Çözümlü örnek
\(a = 2\) ve \(b = 8\) için genişlik \(w = 6\) olur. \(x = 5\) noktasında (orta nokta):
$$f(5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}16667$$$$P(5) = \frac{5 - 2}{6} = 0{,}5$$$$Q(5) = \frac{8 - 5}{6} = 0{,}5$$yani \(P + Q = 1\) olduğu doğrulanır. \(x = 0\) noktasında (a'nın altında) yoğunluk \(0\), \(P = 0\) ve \(Q = 1\)'dir. \(x = 8\) noktasında (üst sınır) \(P = 1\) ve \(Q = 0\) olur.
Sık sorulan sorular
Yoğunluk neden 1'den büyük olabiliyor? Yoğunluk bir olasılık değildir; birim uzunluk başına düşen olasılıktır. Dar bir aralıkta \(1/(b - a)\) değeri \(1\)'i aşabilir, ancak eğrinin altındaki toplam alan yine de \(1\)'e eşit kalır.
a, b'ye eşitse ne olur? Genişlik sıfır olur; bu nedenle yoğunluk tanımsız (sonsuz) hale gelir ve kümülatif fonksiyonlar bir basamak fonksiyonuna dönüşür. Hesaplayıcı bu durumu geçersiz giriş olarak işaretler.
Adım negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir artış, azalan bir tarama oluşturur; formüller [a, b] aralığının dışında yine doğru biçimde sabitlenir.
