Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir lognormal dağılımın yüzdelik noktasını (kuantilini) hesaplar. Bir kümülatif olasılık ile dağılımın parametrelerini girdiğinizde, lognormal kümülatif dağılım fonksiyonunun (CDF) o olasılığa ulaştığı x değerini döndürür. Bu, ters CDF olarak adlandırılır; bazen kuantil fonksiyonu da denir. Lognormal dağılım; gelirler, parçacık boyutları, hisse senedi fiyatları, güvenilirlik ömürleri ve biyolojik derişimler gibi pozitif ve sağa çarpık büyüklükler için yaygın olarak kullanılır. Bu evrensel bir matematiksel araçtır ve her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Öncelikle olasılığınızın bir alt kuyruk değeri \(\text{P}(X \le x)\) mi yoksa bir üst kuyruk değeri \(\text{P}(X > x)\) mi olduğunu seçin. Olasılığı girin (kesinlikle 0 ile 1 arasında olmalı). Ardından \(\ln(X)\)'in temelindeki normal dağılımın iki parametresini girin: konum parametresi mu (\(\ln X\)'in ortalaması) ve ölçek parametresi sigma (\(\ln X\)'in standart sapması; pozitif olmalıdır). Hesapla düğmesine basarak x yüzdelik noktasını elde edin.
Formülün açıklaması
Bir X değişkeni, \(\ln(X)\) değeri mu ortalaması ve sigma standart sapması ile normal dağılım gösterdiğinde lognormaldir. Alt CDF'si $$P(x) = \Phi\!\left( \frac{\ln x - \mu}{\sigma} \right)$$ şeklindedir; burada \(\Phi\) standart normal CDF'dir. Tersini aldığımızda $$x = \exp\!\left( \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \right)$$ elde edilir. Bir üst kuyruk olasılığı Q girerseniz, önce bunu \(p = 1 - \text{Q}\) ile dönüştürürüz. Standart normal kuantil \(\Phi^{-1}\), yaklaşık 1e-9 doğrulukla Acklam'ın rasyonel yaklaşımıyla hesaplanır. Unutmayın: mu ve sigma, X'in kendisini değil, \(\ln X\)'i tanımlar; X'in ortalaması \(\exp(\mu + \sigma^2/2)\) olur.
Örnek hesaplama
Alt kuyruk modunu, olasılık = 0,975, mu = 0 ve sigma = 1 alalım. O hâlde \(p = 0{,}975\) ve \(\Phi^{-1}(0{,}975) = 1{,}959964\) (klasik 1,96 kritik değeri) olur. Buna göre $$x = \exp(0 + 1 \times 1{,}959964) = 7{,}0994.$$ Yani standart lognormal dağılımın 97,5. yüzdelik değeri yaklaşık 7,099'dur.
Sıkça sorulan sorular
Üst kuyruk modunu kullanırsam ne olur? Üst kuyruk modunda Q = 0,025 girdiğinizde \(p = 1 - 0{,}025 = 0{,}975\) olur ve yukarıdaki örnekteki ile aynı \(x \approx 7{,}099\) sonucunu verir.
Medyan nedir? \(p = 0{,}5\) için \(\Phi^{-1}(0{,}5) = 0\) olduğundan \(x = \exp(\mu)\) olur. Lognormal bir dağılımın medyanı, sigma ne olursa olsun \(\exp(\mu)\) değeridir.
Neden \(0 < p < 1\) olmalı? p sıfıra yaklaştıkça yüzdelik değer sıfıra yaklaşır, p bire yaklaştıkça ise sonsuza ıraksar; bu nedenle uç değerler kabul edilmez. Sonuç bir üstel ifade olduğundan her zaman pozitiftir.
