対数正規分布のパーセント点（逆累積分布）計算

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結果

パーセント点 x

対数正規分布のCDFがPに等しくなる値x

下側累積確率 p	0.5
Standard-normal quantile z = Φ⁻¹(p)	0

x = exp(μ + σ · z). Requires 0 < probability < 1 and σ > 0; the result is always positive.

この計算ツールでできること

このツールは、対数正規分布のパーセント点（分位点）を求めます。累積確率と分布のパラメータを入力すると、対数正規分布の累積分布関数（CDF）がその確率に達する値xを返します。これはCDFの逆関数であり、分位関数（クォンタイル関数）とも呼ばれます。対数正規分布は、所得、粒子径、株価、機器の寿命、生体内濃度など、正の値をとり右に裾を引く（右に歪んだ）量を表すのに広く使われます。これは普遍的な数学ツールであり、国や地域を問わず同じように利用できます。

使い方

まず、入力する確率が下側確率 $P(X \le x)$ なのか、上側確率 $P(X > x)$ なのかを選びます。次に確率（0より大きく1より小さい値）を入力します。続いて、ln(X) が従う正規分布の2つのパラメータを入力します。位置パラメータ $\mu$（ln X の平均）と、尺度パラメータ $\sigma$（ln X の標準偏差。正の値であること）です。計算ボタンを押すと、パーセント点xが得られます。

計算式の解説

変数Xは、ln(X) が平均 $\mu$・標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従うとき、対数正規分布に従います。その下側累積分布関数は $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$$ で表されます（$\Phi$ は標準正規分布のCDF）。これを逆に解くと $$x = \exp\!\left(\mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p)\right)$$ となります。上側確率Qを与えた場合は、まず $p = 1 - Q$ に変換してから計算します。標準正規分布の分位点 $\Phi^{-1}$ は、Acklam の有理近似（精度はおよそ 1e-9）で評価しています。なお $\mu$ と $\sigma$ が表すのは ln X の平均・標準偏差であって、X そのものではありません。X の平均は $\exp(\mu + \sigma^2/2)$ になります。

指数変換を介して正規分位点と対数正規パーセンタイルを結ぶ図 — 正規分位点 mu + sigma·z の指数を取ると、対数正規のパーセンタイル x が得られます。

パーセンタイル点 x の左側に面積 p を塗りつぶした対数正規密度曲線 — パーセンタイル x は、対数正規曲線下の累積面積が p に等しくなる点です。

計算例

下側モードを選び、確率 = 0.975、$\mu = 0$、$\sigma = 1$ とします。このとき $p = 0.975$ で、$\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964$（おなじみの臨界値 1.96）です。したがって $$x = \exp(0 + 1 \times 1.959964) = 7.0994$$ となります。標準対数正規分布の97.5パーセンタイルは約7.099です。