ラプラス分布とは
ラプラス分布は「両側指数分布」とも呼ばれる連続確率分布で、中央の山を境に2つの指数曲線を背中合わせに貼り合わせたような形をしています。形を決めるのは2つの値です。位置パラメータ a（平均・中央値・最頻値がすべて一致する点）と、尺度パラメータ b（必ず 0 より大きく、裾の減衰の速さを決める値）です。信号処理、ロバスト統計、ベイズ LASSO の事前分布など、正規分布よりも裾が重いデータを扱う場面で登場します。
このツールの使い方
まず 関数の選択 のラジオボタンで求めたい量を選びます。確率密度 \(f\)、下側累積確率 \(P\)（累積分布関数 CDF）、上側累積確率 \(Q\) の3種類です。次に位置パラメータ \(a\) と、正の尺度パラメータ \(b\) を入力します。続いて \(x\) の数列を3つの欄で指定します。x の初期値、x の刻み幅、繰り返し回数 です。各点は \(x_k = x_{\text{初期値}} + k \cdot x_{\text{刻み幅}}\)（\(k = 0\) から 繰り返し回数\(-1\) まで）として生成されます。ツールは選んだ関数を各点で計算し、折れ線グラフを描き、\((x, \text{値})\) の組を表に一覧表示します。冒頭に大きく表示される値は、最初の \(x\) における関数値です。
計算式の解説
確率密度は $$f(x,a,b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}$$ です。絶対値があるため、曲線は \(a\) を中心に左右対称になります。これを積分すると累積分布関数（CDF）が得られます。$$P(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\, e^{\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x < \text{a} \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\, e^{-\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x \ge \text{a} \end{cases}$$ です。上側の裾は単純に \(Q = 1 - P\) となります。山の頂点 \(x = a\) では \(f = \frac{1}{2b}\)、\(P = Q = 0.5\) になります。
計算例
\(a = 0\)、\(b = 0.7\) として \(x = 1\) で計算してみます。$$f = \frac{1}{1.4} \cdot e^{-\frac{1}{0.7}} = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118$$ です。\(x \ge a\) なので $$P = 1 - 0.5 \cdot e^{-1.42857} = 0.88017, \quad Q = 0.11983$$ となります。\(P + Q\) がちょうど 1 になることに注目してください。計算が正しいかどうかの手軽な検算に使えます。
よくある質問
なぜ \(b\) は正でなければならないのですか？ 確率密度は \(2b\) で割り、指数部にも \(b\) を用います。\(b \le 0\) では関数が定義できないため、このツールでは受け付けません。
\(Q\) は何を表しますか？ \(Q(x)\) は確率変数が \(x\) を超える確率、つまり右側の裾の確率（生存確率）で、\(1 - P(x)\) に等しくなります。
何点までプロットできますか？ 1000 までの正の整数なら自由に指定できます。初期設定（開始 \(-5\)、刻み 0.1、101 点）では \(x\) が \(-5\) から \(+5\) までの範囲をカバーします。
