Что такое распределение Лапласа?
Распределение Лапласа, которое также называют двойным экспоненциальным распределением, — это непрерывное распределение вероятностей, по форме напоминающее две экспоненты, сложенные «спина к спине» в общей вершине. Оно задаётся двумя величинами: параметром положения a (в этой точке совпадают среднее, медиана и мода) и параметром масштаба b (обязательно больше нуля; он определяет, насколько быстро убывают «хвосты»). Распределение Лапласа встречается в обработке сигналов, робастной статистике, байесовских априорных распределениях LASSO, а также в моделях, где данные имеют более «тяжёлые» хвосты, чем нормальное распределение.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите нужную величину с помощью переключателя Выбор функции: плотность вероятности f, нижнюю кумулятивную вероятность P (функцию распределения, CDF) или верхнюю кумулятивную вероятность Q. Введите параметр положения a и положительный параметр масштаба b. Затем задайте последовательность x тремя полями: начальное значение x, шаг x и число повторов. Точки формируются по формуле \(x_k = x_{\text{Начальное}} + k\cdot x_{\text{Шаг}}\) для \(k\) от 0 до число\(-1\). Калькулятор вычисляет выбранную функцию в каждой точке, строит линейный график и выводит все пары (x, значение) в таблице. В качестве главного результата показывается значение функции в первой точке x.
Разбор формулы
Плотность вычисляется так:
$$f(x, a, b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}$$Модуль делает кривую симметричной относительно a. Интегрируя плотность, получаем функцию распределения (CDF):
$$P(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\, e^{\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x < \text{a} \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\, e^{-\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x \ge \text{a} \end{cases}$$Верхний хвост определяется просто:
$$Q(x) = 1 - P(x) = \begin{cases} 1 - \dfrac{1}{2}\, e^{\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x < \text{a} \\[1em] \dfrac{1}{2}\, e^{-\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x \ge \text{a} \end{cases}$$В вершине при \(x = a\) получаем \(f = \frac{1}{2b}\) и \(P = Q = 0{,}5\).
Пример расчёта
Пусть \(a = 0\), \(b = 0{,}7\), и нужно вычислить значения в точке \(x = 1\):
$$f = \frac{1}{1{,}4}\cdot e^{-\frac{1}{0{,}7}} = 0{,}714286 \times 0{,}239651 \approx 0{,}17118$$Так как \(x \ge a\), то \(P = 1 - 0{,}5\cdot e^{-1{,}42857} = 0{,}88017\) и \(Q = 0{,}11983\). Обратите внимание: \(P + Q = 1\) ровно — это удобная проверка результата.
Частые вопросы
Почему b должно быть положительным? В формуле плотности есть деление на \(2b\), а показатель экспоненты содержит \(b\); если \(b \le 0\), функция не определена, поэтому калькулятор такое значение не принимает.
Что означает Q? \(Q(x)\) — это вероятность того, что случайная величина превысит \(x\), то есть вероятность правого хвоста (функция выживаемости), равная \(1 - P(x)\).
Сколько точек можно построить? Любое целое положительное число до 1000. По умолчанию (начало \(-5\), шаг 0,1, 101 точка) диапазон x охватывает значения от \(-5\) до \(+5\).
